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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Fr 19.02.2016 | | Autor: | Reynir |
| Aufgabe | Satz:
Die Reihe [mm] $\sum_{n \geq 0 } a_n$ [/mm] konvergiert, falls es $C>0$ und [mm] $\epsilon [/mm] >0$ gibt, sodass
[mm] $|\frac{a_{n+1} }{a_n}|=1-\frac{C}{n}+\mathcal{O}(\frac{1}{n^{1+\epsilon}}).[/mm] ![[]](/images/popup.gif) S.13 Lemma 5.3 |
Hi,
meine Frage ist zudem Lemma, da wird unten eine Abschätzung vorgenommen, die ich nicht verstehe und zwar wird dort abgeschätzt:
[mm] $|\frac{a_{n+1} }{a_n}|\leq |\frac{b_{n+1} }{b_n}|$.
[/mm]
Versteht jemand, wie das zu begründen ist, weil mir erschließt es sich nicht.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Fr 19.02.2016 | | Autor: | fred97 |
Schau Dir an, wie [mm] (b_n) [/mm] def. ist.
Die Reihe über die [mm] b_n [/mm] konvergiert.
Fred
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:22 Sa 20.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
ich meine verstanden zu haben, wie die [mm] $b_n$ [/mm] definiert sind und auch, wie man zu dem Ausdruck für [mm] $\frac{b_{n+1}}{b_n} [/mm] $ kommt (Stichwort allgemeiner binomischer Lehrsatz (wenn der so heißt, auf jeden Fall meine ich die allgemeinere Form für reelle Exponeten)).
Ich verstehe allerdings nicht, wieso gelten soll:
$1- [mm] \frac{C}{n}+\mathcal{O}(\frac{1}{n^{1+\epsilon}}) \leq [/mm] 1 - [mm] \frac{s}{n}+\mathcal{O}(\frac{1}{n^{2}})$. [/mm] Sollte das irgendeine weitere Folgerung - zusätzlich zur Herleitung der Formel für den Quotienten der [mm] $b_n$ [/mm] sein so sehe ich diese nicht.
Mich verwirrt es, da ich dachte, man könnte doch folgern:
$ [mm] \mathcal{O}(\frac{1}{n^{1+\epsilon}}) \leq \mathcal{O}(\frac{1}{n^{2}})$, [/mm] wenn man -s>-C und die Monotonie der Addition bedenkt, allerdings bin ich mir nicht mehr so sicher damit. Weil es kann doch auch sein, dass ich links eine Funktion finde, die größer als die auf der rechten Seite wird und dann kann mir das doch die Ungleichung zerschießen. Oder sagt man, man wählt einfach passend?
Du siehst, ich bin verwirrt, was wohl daraus resultiert, dass ich nicht weis, wie man die erste oben Ungleichung argumentieren kann. Ich wäre dir dankbar, wenn du mir helfen könntest meine Gedanken zu ordnen, weil ich gerade nicht mehr wirklich durchblicke.
Viele Grüße,
Reynir
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(Frage) überfällig | | Datum: | 14:21 Mo 22.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
also, meine Frage besteht noch. Ich meine es ist ja auch nicht so wirklich klar, zumindest für mich, wich eine Funktion abschätzen soll, die auf der linken Seite steht und [mm] $\leq \frac{1}{n^{1+\epsilon}}$ [/mm] erfüllt, wenn [mm] $\epsilon$ [/mm] sehr klein ist, dann kann doch auch eine Funktion kommen, die etwas größer ist als [mm] $\frac{1}{n^2}$ [/mm] oder greift an diesem Punkt der Zusatz für große n, der dann nach der Ungleichung nachgeschoben wurde?
Viele Grüße,
Reynir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 Mo 22.02.2016 | | Autor: | Jule2 |
Hi
Ich bin mir nicht ganz sicher ob das was ich mir gedacht habe richtig ist deshalb poste ich mal als Mitteilung!
Soweit ich das verstanden habe gilt ja für 0 [mm] \leq [/mm] k,l
1- [mm] \frac{C}{n}+k\frac{1}{n^{1+\epsilon}} \leq [/mm] 1- [mm] \frac{S}{n}+l\frac{1}{n^{2}}
[/mm]
für 1 <s< C
Dann gilt aber weiter
[mm] \frac{S-C}{n}+k\frac{1}{n^{1+\epsilon}} \leq l\frac{1}{n^{2}}
[/mm]
[mm] \gdw \frac{k+(S-C)n^{\epsilon}}{n^{1+\epsilon}} \leq l\frac{1}{n^{2}}
[/mm]
und für groß genuge n sollte dass ja hinhauen denn S-C< 0
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Di 23.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Ah, vielen Dank für deine Antwort, ich habe sie gerade gesehen. Für mich macht sie auf jeden Fall Sinn. ;)
Viele Grüße,
Reynir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 25.02.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mi 24.02.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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