Numerische Integration < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Fr 27.05.2005 | | Autor: | ginii |
Hallo!
Ich habe da so eine Frage. Ich habe vor einem Monat meine Facharbeit abgegeben. Mein Thema war die Numerische Integration durch wiederholtes Differenzieren. Dabei wird das Integral durch wiederholtes Differezieren der Stammfunktion mithilfe der Taylorformel berechnet. In meiner Arbeit habe ich für die untere Grenze a=0 gesetzt und für die obere Integralgrenze habe ich eine beliebige Zahel eingesetzt. Damit ließ sich das Integral recht einfach bestimmen.
Ich muss jetzt meine Arbeit vorstellen, deshalb muss ich wissen, wie man das Integral bestimmt, wenn die untere Grenze a=1 oder a=7 ist?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Fr 27.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Gini
. In
> meiner Arbeit habe ich für die untere Grenze a=0 gesetzt
> und für die obere Integralgrenze habe ich eine beliebige
> Zahel eingesetzt. Damit ließ sich das Integral recht
> einfach bestimmen.
> Ich muss jetzt meine Arbeit vorstellen, deshalb muss ich
> wissen, wie man das Integral bestimmt, wenn die untere
> Grenze a=1 oder a=7 ist?
Reicht es dir, wenn du einfach verwendest:
[mm] \integral_{0}^{x} [/mm] {f(x) dx}= [mm] \integral_{0}^{a} [/mm] {f(x) dx}+ [mm] \integral_{a}^{x} [/mm] {f(x) dx}, da du ja [mm] \integral_{0}^{x} [/mm] {f(x) dx} kennst, kannst du für x a einsetzen und hast [mm] \integral_{0}^{a} [/mm] {f(x) dx}
und damit auch [mm] \integral_{a}^{x} [/mm] {f(x) dx}.
anders ausgedrückt:
wenn F(x)= [mm] \integral_{0}^{x} [/mm] {f(x) dx} ist, ist F(x)-F(a)= [mm] \integral_{a}^{x} [/mm] {f(x) dx}
Ich hoffe das reicht
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Fr 27.05.2005 | | Autor: | ginii |
Hallo leduart.
Danke für die Info. Ich habe aber dazu noch eine Frage. Wenn ich jetzt die Taylorformel anwende, fällt dadurch F(a) weg?
Also:
[mm] \integral_{a}^{a+h} [/mm] {f(x) dx}=F(a+h)-F(a)= [mm] \summe_{i=1}^{n}F^i(a+ih)/i!-F(a)
[/mm]
Mit dieser Formel würde F(a) wegfallen. Würde das so gehen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Fr 27.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Irgendwie bin ich verwirrt!
Wie hast du denn [mm] \integral_{0}^{x} [/mm] {f(x) dx} durch Taylor dargestellt?
Wenn du mir das schreibst, versteh ich deine Formel vielleicht besser! Du hattest doch geschrieben, dass du [mm] \integral_{0}^{x} [/mm] {f(x) dx} könntest, das wäre aber für mich :
[mm] \summe_{i=0}^{n}F^{i}/i!*x^{i}
[/mm]
mit dem Ausdruck [mm] \summe_{i=1}^{n}F^i(a+ih)/i! [/mm] kann ich nichts anfangen.
und warum würde F(a) wegfallen?
Willst du das Taylorpolynom um x=a also Potenzen von (x-a) oder um x=0 also >Potenzen von x?
vielleicht hab ich deine erste Frage missverstanden? bitte versuchs noch mal.
Vielleicht hilft dir folgende Information. kennt man an einer Stelle a die ersten n Ableitungen von F dann ist das Taylorpolynom [mm] T(x)=\summe_{i=0}^{n}F^i(a)/i!*(x-a)^{i}
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:36 Fr 27.05.2005 | | Autor: | ginii |
Bei der numerischen Integration durch wiederholtes Differenzieren wird die Stammfunktion, obwohl man sie bei bestimmten Funktionen nicht bestimmen kann, weil sie entweder zu komplex sind oder weil man sie nur von Messenungen her kennt, kann sie Stammfunktion mit diesem Verfahren bestimmt werden. Dabei wird die Taylorformel verwendet.
Ich stelle nun die Gleichung auf, bei der F(a) wegfällt.
b=a+h
[mm] \integral_{a}^{a+h} [/mm] {f(x) [mm] dx}=F(a+h)-F(a)=\summe_{i=1}^{n}F^i(a)\i!*h^i-F(a)=F(a)+F´(a)*h+F´´(a)*h^2\2+...-F(a)=F´(a)*h+F´´(a)*h^2\2!+...+Rn(Restglied)
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Fr 27.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Gini
> Ich stelle nun die Gleichung auf, bei der F(a) wegfällt.
> b=a+h
>
> [mm]\integral_{a}^{a+h}[/mm] {f(x) [mm] dx}=F(a+h)-F(a)=\summe_{i=1}^{n}F^i(a)/i!*h^i-F(a)=F(a)+F´(a)*h+F´´(a)*h^2/2+...-F(a)=F´(a)*h+F´´(a)*h^2\2!+...+Rn(Restglied)[/mm] [/mm]
Hier fällt F(a) nicht weg! F(a+h) = [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{F^{i}(a)}{i!}*h^{i}+Rest. [/mm] Du hast die Taylorformel um den Punkt a benutzt, da muß F(a) drin bleiben.
Nur wenn du die Taylorformel um 0 benutzt also
F(x)= [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{F^{i}(0)}{i!}*x^{i}+Rest [/mm] = [mm] \integral_{0}^{x} [/mm] {f(x) dx}, dann gilt meine Bemerkung wenn du daraus [mm] \integral_{a}^{x} [/mm] {f(x) dx} bestimmen willst musst du F(a) abziehen.
Aber dein F(a+h) ist natürlich genauer, wenn du Taylorreihe bei a benutzt. Ich war nur durch deine erste Frage irritiert.
Ist jetzt alles klar?
(Kannst du nach dem Schreiben dein posting mit Vorschau durchlesen, diesmal war es weil du / und\ verwechselt hast fast unleserlich)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:14 Fr 27.05.2005 | | Autor: | ginii |
Danke. Jetzt ist alles klar.
Liebe Grüße ginii. 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:10 Sa 28.05.2005 | | Autor: | ginii |
Hallo!
Ich bin es wieder. Wie komme ich nochmal auf die Formel [mm] F(a+h)=\summe_{i=1}^{n}F^i(a)/i!*h^i? [/mm] Mir ist die Herleitung der Taylorformel bekannt. Aber ich bin mir nicht sicher, wie die Herleitung dieser Formel ist.
|
|
|
|
