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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 So 10.02.2008 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Gegeben sind die drei Stützstellen [mm] x_{0}=0, x_{1}=h, x_{2}=2h [/mm] mit einem reellen h>0. Diesen Stützstellen sind Funktionswerte zugeordnet: [mm] f_{(x_{0})}=f_{0}, f_{(x_{1})}=f_{1}, f_{(x_{2})}=f_{2}.
[/mm]
Weisen sie nach, daß das folgende Polynom zweiten Grades die drei Wertepaare [mm] (x_{0},f_{0}), (x_{1},f_{1}), (x_{2},f_{2}) [/mm] interpoliert.
[mm] y_{(x)}=\bruch{f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{2h^{2}}x^{2}+\bruch{4f_{1}-3f_{0}-f_{2}}{2h}x+f_{0}
[/mm]
Ist dieses Polynom das einzige Polynom zweiten Grades, welches die drei Wertepaare interpoliert??? |
Hi,
hab Probleme mit obiger Aufgabe. Der erste Teil hat funktioniert. Ich hab aber wender Idee noch Ansatz zum 2. Teil. Woher weiss ich, ob dieses Polynom das einzige ist, welches die drei Wertepaare interpoliert oder nicht? Und wie zeige ich das?
Danke schonmal für eure Hilfe
Gruß
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 So 10.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sind die drei Stützstellen [mm]x_{0}=0, x_{1}=h, x_{2}=2h[/mm]
> mit einem reellen h>0. Diesen Stützstellen sind
> Funktionswerte zugeordnet: [mm]f_{(x_{0})}=f_{0}, f_{(x_{1})}=f_{1}, f_{(x_{2})}=f_{2}.[/mm]
>
> Weisen sie nach, daß das folgende Polynom zweiten Grades
> die drei Wertepaare [mm](x_{0},f_{0}), (x_{1},f_{1}), (x_{2},f_{2})[/mm]
> interpoliert.
>
> [mm]y_{(x)}=\bruch{f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{2h^{2}}x^{2}+\bruch{4f_{1}-3f_{0}-f_{2}}{2h}x+f_{0}[/mm]
>
> Ist dieses Polynom das einzige Polynom zweiten Grades,
> welches die drei Wertepaare interpoliert???
> Hi,
> hab Probleme mit obiger Aufgabe. Der erste Teil hat
> funktioniert. Ich hab aber wender Idee noch Ansatz zum 2.
> Teil. Woher weiss ich, ob dieses Polynom das einzige ist,
> welches die drei Wertepaare interpoliert oder nicht? Und
> wie zeige ich das?
>
> Danke schonmal für eure Hilfe
>
> Gruß
> Stefan
Es gibt zu drei vorgegebenen Punkten generell höchstens eine Parabel, die durch diese Punkte geht.
Polynome zweiten Grades werden allgemein durch die Funktionsgleichung
[mm] f(x)=ax^2+bx+c [/mm] beschrieben. Wenn 3 Punkte [mm] (x_1|y_1), (x_2|y_2) [/mm] und [mm] (x_3|y_3) [/mm] auf dem Graphen liegen,
dann gilt für ihre Koordinaten:
(1) [mm] y_1=ax_1^2 [/mm] + [mm] bx_1 [/mm] +c
(2) [mm] y_2=ax_2^2 [/mm] + [mm] bx_2 [/mm] +c
(3) [mm] y_3=ax_3^2 [/mm] + [mm] bx_3 [/mm] +c
Das ist ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten (a, b und c), das entweder genau eine oder gar keine Lösung hat.
(Es git zwar auch Gleichunssysteme mit unendlich vielen Lösungen, das würde aber hier nur auftreten, wenn entgegen der Voraussetzung zwei der 3 Stützpunkte identisch wären.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 So 10.02.2008 | | Autor: | polyurie |
super danke!!!
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