Nullteiler <=> Eigenwert < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Di 30.10.2007 | | Autor: | Jana85 |
Hallo liebe Forumuser,
ich habe ein gewaltiges Problem mit dieser Aufgabe:
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Vorgabe: K Körper; R = [mm] M^{nxn}(K) [/mm] Ring
a) Behauptung: A [mm] \in [/mm] R Nullteiler [mm] \gdw [/mm] 0 Eigenwert von A ist
b) Behauptung: [mm] R^{x} [/mm] = R [mm] \backslash [/mm] N, wobei N die Menge der Nullteiler von R bezeichnet.
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Also bei Aufgabe a) hab ich keine Ahnung wie ich da dran gehen soll, bei Aufgabe b) hab ich zumindest schon mal die eine Inklusion, nur die Rückrichtung macht mich zu schaffen!
Ich hoffe wenigstens die Inklusion ist richtig:
[mm] \subseteq
[/mm]
x [mm] \in R^{x} \Rightarrow [/mm] ex. y [mm] \in [/mm] R : [mm] xy=E_{n}=yx \Rightarrow [/mm] ex. kein 0 [mm] \not= [/mm] B [mm] \in [/mm] R: xB=0, da y mit links multipliiert ergibt B=0!
so ich hoffe ihr könnt mir bei den 2 Teilaufgaben helfen, ich verzweifle schon :-(
vielen dank, ich zähl auf euch  und viele liebe grüße
Eure Jana
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> Hallo liebe Forumuser,
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> ich habe ein gewaltiges Problem mit dieser Aufgabe:
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> Vorgabe: K Körper; R = [mm]M^{nxn}(K)[/mm] Ring
> a) Behauptung: A [mm]\in[/mm] R Nullteiler [mm]\gdw[/mm] 0 Eigenwert von A
> ist
> b) Behauptung: [mm]R^{x}[/mm] = R [mm]\backslash[/mm] N, wobei N die Menge
> der Nullteiler von R bezeichnet.
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Hallo,
zu a)
"==>"
Sei A Nullteiler, d. A [mm] \not=0 [/mm] und es gibt ein [mm] B\not=0 [/mm] mit AB=0
==> 0=det(AB)=det(A)det(B)
==> detA=0 oder detB=0
Wenn die Determinante von A =0 ist, ist [mm] KernA\not=0 [/mm] ==> 0 ist Eigenwert.
Überlege Dir, ob det A=0 sein kann.
"<=="
Wenn 0 Eigenwert von A ist, ist [mm] kernA\not=0.
[/mm]
Finde eine Matrix [mm] B\not=0 [/mm] mit Bild B=Kern A. Dann ist AB=0.
zu b)
Was Du hast, sieht richtig aus, wenn ich es auch etws anders aufgeschrieben habe.
Für die andere Richtung ist zu zeigen, daß R \ N [mm] \subseteq R^x, [/mm] d.h. [mm] A\in [/mm] R \ N ==> A invertierbar.
Mir fiele es leichter, die Kontrapos. zu zeigen, also A nicht invertierbar ==> [mm] A\in [/mm] N. Überlegungen dazu kommen in a) ja vor.
Gruß v. Angela
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> Nur eins verstehe ich noch immer nicht, wieso wird
> unbedingt det von A = 0 bei Aufgabe a)? Es kann doch auch
> sein, dass det von B = 0 und dann weiß man nichts über die
> det A, was uns nicht weiter bringt!
Hallo,
wenn die die Determinante [mm] \not=0 [/mm] ist, ist A invertierbar, und was hieraus aus AB=0 folgt, hast Du bei b) ja schon selbst herausgefunden.
Gruß v. Angela
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)!
