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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 So 24.02.2013 | | Autor: | kevku |
Hallo zusammen,
ich sitze gerade an einem Problem in der Funktionentheorie. Zurzeit untersuche ich das Wachstum von ganzen Funktionen endlicher Ordnung. Im Moment muss ich dazu noch etwas Vorarbeit leisten. Hier mein bisheriger Fortschritt:
Sei $f: [mm] \mathbb [/mm] C [mm] \rightarrow \mathbb [/mm] C$ eine beliebige, ganze Funktion und es sei $f(0) [mm] \not= 0$.\\
[/mm]
Sei [mm] $(\alpha_n)_{n \in \mathbb N}$ [/mm] die Folge der Nullstellen (samt Vielfachheiten) von $f$. Sie seien nach aufsteigenden Beträgen geordnet: [mm] |\alpha_n| \le |\alpha_{n + 1}|.
[/mm]
Sei g := [mm] \prod_n E(\frac{z}{\alpha_n}, q_n) [/mm] mit
[mm] E(\frac{z}{\alpha_n}, [/mm] q) := (1 - [mm] \frac{z}{\alpha_n}) \exp( \sum_{k=1}^\infty \frac{ (\frac{z}{\alpha_n})^k}{k}).
[/mm]
Bisher habe ich gezeigt, dass für eine Folge [mm] (q_n) [/mm] von ganzen Zahlen die Funktion g für n [mm] \rightarrow \infty [/mm] in jeder Kreisscheibe gleichmäßig konvergiert.
Nun muss ich zeigen, dass f und g dieselbe Nullstellenfolge haben und dass somit f/g eine ganze Funktion ohne Nullstellen ist.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
kevku
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 So 24.02.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo zusammen,
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> ich sitze gerade an einem Problem in der Funktionentheorie.
> Zurzeit untersuche ich das Wachstum von ganzen Funktionen
> endlicher Ordnung. Im Moment muss ich dazu noch etwas
> Vorarbeit leisten. Hier mein bisheriger Fortschritt:
>
> Sei [mm]f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C[/mm] eine beliebige,
> ganze Funktion und es sei [mm]f(0) \not= 0[/mm] .
> Sei
> [mm](\alpha_n)_{n \in \mathbb N}[/mm] die Folge der Nullstellen
> (samt Vielfachheiten) von [mm]f[/mm]. Sie seien nach aufsteigenden
> Beträgen geordnet: [mm]|\alpha_n| \le |\alpha_{n + 1}|.[/mm]
>
>
> Sei g := [mm]\prod_n E(\frac{z}{\alpha_n}, q_n)[/mm] mit
> [mm]E(\frac{z}{\alpha_n}, q) := \left(1 - \frac{z}{\alpha_n}\right) \exp\left( \sum_{k=1}^\infty \frac{ (\frac{z}{\alpha_n})^k}{k}\right).[/mm]
>
> Bisher habe ich gezeigt, dass für eine Folge [mm](q_n)[/mm] von
> ganzen Zahlen die Funktion g für n [mm]\rightarrow \infty[/mm] in
> jeder Kreisscheibe gleichmäßig konvergiert.
>
> Nun muss ich zeigen, dass f und g dieselbe Nullstellenfolge
> haben und dass somit f/g eine ganze Funktion ohne
> Nullstellen ist.
g als Produkt hat genau dort Nullstellen, wo mindestens einer der Faktoren [mm]E(\frac{z}{\alpha_n}, q_n)[/mm] gleich 0 ist. Da die Exponentialfunktion keine Nullstellen hat, hat [mm]E(\frac{z}{\alpha_n}, q_n)[/mm] genau eine Nullstelle [mm] $\alpha_n$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:26 Mo 25.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
>
> ich sitze gerade an einem Problem in der Funktionentheorie.
> Zurzeit untersuche ich das Wachstum von ganzen Funktionen
> endlicher Ordnung. Im Moment muss ich dazu noch etwas
> Vorarbeit leisten. Hier mein bisheriger Fortschritt:
>
> Sei [mm]f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C[/mm] eine beliebige,
> ganze Funktion und es sei [mm]f(0) \not= 0[/mm][mm] .\\[/mm]
> Sei
> [mm](\alpha_n)_{n \in \mathbb N}[/mm] die Folge der Nullstellen
> (samt Vielfachheiten) von [mm]f[/mm]. Sie seien nach aufsteigenden
> Beträgen geordnet: [mm]|\alpha_n| \le |\alpha_{n + 1}|.[/mm]
>
>
> Sei g := [mm]\prod_n E(\frac{z}{\alpha_n}, q_n)[/mm] mit
> [mm]E(\frac{z}{\alpha_n},[/mm] q) := (1 - [mm]\frac{z}{\alpha_n}) \exp( \sum_{k=1}^\infty \frac{ (\frac{z}{\alpha_n})^k}{k}).[/mm]
Das soll wohl so lauten:
[mm]E(\frac{z}{\alpha_n},[/mm] [mm] q_n) [/mm] := (1 - [mm]\frac{z}{\alpha_n}) \exp( \sum_{k=1}^{q_n} \frac{ (\frac{z}{\alpha_n})^k}{k}).[/mm]
FRED
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> Bisher habe ich gezeigt, dass für eine Folge [mm](q_n)[/mm] von
> ganzen Zahlen die Funktion g für n [mm]\rightarrow \infty[/mm] in
> jeder Kreisscheibe gleichmäßig konvergiert.
>
> Nun muss ich zeigen, dass f und g dieselbe Nullstellenfolge
> haben und dass somit f/g eine ganze Funktion ohne
> Nullstellen ist.
>
> Kann mir jemand weiterhelfen?
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Gruß
> kevku
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