Nullstellenbestimmung con Funk < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] x^7-x^5-12x^3=0 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.Freundlicher Umgangston
Hallo Leute,
es geht mir hier um Nullstellenbestimmung.Nach Ausklammern von x erhalte ich x hoch drei in Klammer x hoch 4 minus x hoch 2 minus 12, Klammer zu = 0.
Mit der Anwendung der Substitution:x hoch 2 sei z, wende ich die pq-Formel an.
Muss ich bei z jetzt z1,2 oder z4,5 hinschreiben da mir schon drei Nullstellen bekannt sind.
Oder z1,2 und nach der Wurzelziehung und Resublimierung natürlich mit x 4,5 anfangen, da wie gesagt mir die ersten drei Nullstellen bekannt sind.
Hoffe Ihr könnt mir das beantworten.
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Hallo athanathos und ein herzliches Willkommen im matheraum!
> [mm]x^7-x^5-12x^3=0[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.Freundlicher Umgangston
> Hallo Leute,
> es geht mir hier um Nullstellenbestimmung.Nach Ausklammern
> von x erhalte ich x hoch drei in Klammer x hoch 4 minus x
> hoch 2 minus 12, Klammer zu = 0.
Schreib es doch auch einfach richtig hin, sprich ohne Text ;)
Also man klammert natürlich nicht nur ein x aus, sondern gleich [mm] x^3.
[/mm]
Damit erhält man
[mm] x^7-x^5-12x^3=x^3(x^4-x^2-12)=0
[/mm]
Hieraus folgt direkt, dass [mm] x_{1,2,3}=0 [/mm] ist.
Kümmern wir uns nun um den zweiten Faktor
[mm] x^4-x^2-12
[/mm]
Dein Ansatz mit der Substituition ist natürlich vollkommen richtig. Wir setzen [mm] z=x^2 [/mm] und erhalten so die quadratische Gleichung
[mm] z^2-z-12=0
[/mm]
Hier wenden wir natürlich die p/q-Formel an und erhalten als Lösung
[mm] z_1=-3 [/mm] und [mm] z_2=4.
[/mm]
Nun kommt die Rücksubstitution.
Es ist [mm] z_1={x_{4,5}}^2=-3. [/mm] Ziehen wir hieraus die Wurzel erhalten wir komplexe Lösungen. Ob du diese mit angeben sollst, liegt bei deinen Kenntnissen über komplexe Zahlen (also ist das eine Schul- oder Uni-Aufgabe?).
Du siehst nun oben, dass ich das ganze [mm] z_1 [/mm] und [mm] x_{4,5} [/mm] genannt habe. Das ist aber nur eine Schreibweise. Wenn du willst, kannst die die Nullstellen später auch [mm] x_{annika} [/mm] oder [mm] x_{dieter} [/mm] nennen. Das ist vollkommen egal.
Mit der Schreibweise [mm] x_{1,2,3}=0 [/mm] deutet man jedoch noch darauf hin, dass die x=0 dreifache Nullstelle des Polynoms ist.
Nun haben wir noch [mm] z_2={x_{6,7}}^2, [/mm] also [mm] x_6=2 [/mm] und [mm] x_7=-2
[/mm]
Bezeichne [mm] \mathcal{N}_{\IR} [/mm] die Menge der reellen Nullstellen des obigen Polynoms, so haben wir: [mm] \mathcal{N}_{\IR}=\{0,\ -2,\ 2\}
[/mm]
Die Menge der komplexen Nullstellen sieht dann wiederum ein bisschen anders aus. Aber ich glaube das ist hier nicht verlangt.
Bei Rückfragen, einfach eine Frage hier noch anfügen.
> Mit der Anwendung der Substitution:x hoch 2 sei z, wende
> ich die pq-Formel an.
> Muss ich bei z jetzt z1,2 oder z4,5 hinschreiben da mir
> schon drei Nullstellen bekannt sind.
> Oder z1,2 und nach der Wurzelziehung und Resublimierung
> natürlich mit x 4,5 anfangen, da wie gesagt mir die ersten
> drei Nullstellen bekannt sind.
> Hoffe Ihr könnt mir das beantworten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Do 27.12.2012 | | Autor: | athanathos |
Danke für die schnelle und ausführliche Antwort.
Werde es dan so handhaben z1,2 und bei Rücksubstitution, Berücksichtigung der bekannten Nullstellen wie in meinem Beispiel, sprich x4,5 u.s.w.
Absolviere gerade die Fachhochschule werde also bestimmt des öffteren in diesem Forum reinschauen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Do 27.12.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo noch einmal,
> Danke für die schnelle und ausführliche Antwort.
> Werde es dan so handhaben z1,2 und bei Rücksubstitution,
> Berücksichtigung der bekannten Nullstellen wie in meinem
> Beispiel, sprich x4,5 u.s.w.
Das ist immer eine gute Wahl. Das einzig wichtige, was man beachten muss: Es darf keine Doppelbelegungen geben.
> Absolviere gerade die Fachhochschule werde also bestimmt
> des öffteren in diesem Forum reinschauen.
Na aber gerne doch!
Ich wünsche viel Erfolg!
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