Nullstellenberechnung < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Tangente an den Funktionsgraphen von f(x) = 2 - 1/2x + [mm] x^3 [/mm] und notieren Sie den Funktionsterm in Linearfaktordarstellung. |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wieder einmal eine Frage zu einer Aufgabe
Habe diese Aufgabe versucht durchzurechnen und kam dann auf diesen/s Rechenweg/Rechenergebnis
Nullstellenberechnung
f(x) = [mm] 4x^3 [/mm] - [mm] 8x^2 [/mm] - 11x - 3
> ganzrationale Funktion
Durch Ausprobieren die Nullstelle bestimmen:
4 * [mm] 3^3 [/mm] - 8 * [mm] 3^2 [/mm] - 11 * 3 - 3 = 0
also Nullstelle = 3
[mm] (4x^3 [/mm] - [mm] 8x^2 [/mm] - 11x - 3) : (x-3) * g(x)
dann Polynomdivision
[mm] (4x^3 [/mm] - [mm] 8x^2-11x-3) [/mm] : (x-3) = [mm] 4x^2^-2x-5-12
[/mm]
- [mm] (4x^3 [/mm] - [mm] 6x^2)
[/mm]
- [mm] 2x^2 [/mm] - 11x
[mm] -(-2x^2- [/mm] 6 x)
5x - 3
-(-5x + 15)
- 12 Rest von 12
Resultat: f(x) = (x - 3) * ( [mm] 4x^2 [/mm] - 2x - 5 - 12)
P-Q- Formel:
x = - p/2 - Wurzel [mm] {p^2/4 - q }
[/mm]
x = - p/2 [mm] \+ [/mm] Wurzel [mm] {p^2/4 - q}
[/mm]
= [mm] 4x^2 [/mm] - 2x - 5 - 12 = 0 |:4
= [mm] x^2 [/mm] - 0,5 x - 1,25 - 3 = 0 | NORMALFORM
px q
in die PQ formel eingesetzt :
x=-0,5/2 [mm] \pm \wurzel{0,5^2/4 + 1,25}
[/mm]
x = - 0,25 [mm] \pm \wurzel [/mm] {0,0625 + 1,25}
x = - 0,25 [mm] \pm \wurzel [/mm] {1,3125}
x = - 0,25 [mm] \pm [/mm] 1,15
Nullstelle 1 = -,14 ; Nullstelle 2 = 0,9
Was ist denn daran falsch ?!
Vielen Dank im Vorraus
Lg Eli
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 So 09.12.2007 | | Autor: | bamm |
Wieso unterscheiden sich bei dir f(x) in der Aufgabenstellung und im Text? Was gilt denn jetzt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 So 09.12.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
> Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Tangente an den
> Funktionsgraphen von f(x) = 2 - 1/2x + [mm]x^3[/mm] und notieren Sie
> den Funktionsterm in Linearfaktordarstellung.
> Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Wieder einmal eine Frage zu einer Aufgabe
> Habe diese Aufgabe versucht durchzurechnen und kam dann
> auf diesen/s Rechenweg/Rechenergebnis
>
> Nullstellenberechnung
>
> f(x) = [mm]4x^3[/mm] - [mm]8x^2[/mm] - 11x - 3
> > ganzrationale Funktion
>
> Durch Ausprobieren die Nullstelle bestimmen:
>
> 4 * [mm]3^3[/mm] - 8 * [mm]3^2[/mm] - 11 * 3 - 3 = 0
>
> also Nullstelle = 3
Korrekt soweit
> [mm](4x^3[/mm] - [mm]8x^2[/mm] - 11x - 3) : (x-3) * g(x)
>
> dann Polynomdivision
>
> [mm](4x^3[/mm] - [mm]8x^2-11x-3)[/mm] : (x-3) = [mm]4x^2^-2x-5-12[/mm]
> - [mm](4x^3[/mm] - [mm]6x^2)[/mm]
> - [mm]2x^2[/mm] - 11x
> [mm]-(-2x^2-[/mm] 6 x)
> 5x - 3
> -(-5x + 15)
> - 12 Rest von 12
> Resultat: f(x) = (x - 3) * ( [mm]4x^2[/mm] - 2x - 5 - 12)
>
Wenn du eine Polynomd. mit einer Nullstelle machst, darf hinterher kein Rest mehr auftauchen.
Also:
[mm] x_{1}=3
[/mm]
[mm] (4x³-8x²-11x-3):(x-3)=4x²+\overbrace{4x}^{=\bruch{\red{4x²}}{x}}+\overbrace{1}^{\bruch{x}{x}}
[/mm]
-(4x³-12x²)
[mm] \red{4x²}-11x
[/mm]
-(4x²-12x)
x-3
-(x-3)
0
4x²+4x+1=0
[mm] \gdw x²+x+\bruch{1}{4}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{2,3}=-\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}-\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{2}=-\bruch{1}{2}, x_{3}=-\bruch{1}{2}
[/mm]
Also ist die Funktion f in linearfaktoren:
[mm] f(x)=(x-3)(x+\bruch{1}{2})(x+\bruch{1}{2})=(x+\bruch{1}{2})^{2}*(x-3)
[/mm]
Marius
|
|
|
|
