Nullstellen von Polynomen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Piatty |
| Aufgabe | Beweise mit Hilfe des Zwischenwertsatzes:
Sei p(x) [mm] \in \IR[x] [/mm] ein Polynom, grad(p) > 2, dessen Nullstellen alle reell und einfach sind. Dann hat auch p'(x) [mm] \in \IR [/mm] nur reelle einfache Nullstellen. |
Ich habe keine Ahnung wie ich das beweisen soll. Da wir den Mittelwertsatz in der Vorlesung nur kurz angesprochen haben, weiß ich auch nciht wie der funktioniert.
wäre um jede hilfe dankbar...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Mo 15.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich würde das mit dem Satz von Rolle machen:
Sei n = grad(p) und [mm] x_1, [/mm] ..., [mm] x_n [/mm] seine die Nullstellen von p mit
[mm] $x_1
Für j=1, ..n-1 gilt nach dem Satz von Rolle:
p' hat eine Nullstelle [mm] z_j \in (x_j, x_{j-1})
[/mm]
Also hat p' die n-1 Nullstellen [mm] $z_1, [/mm] ..., [mm] z_{n-1}$
[/mm]
Da grad(p') = n-1 , hat p' keine weiteren Nullstellen und wegen [mm] $z_1< [/mm] ...< [mm] z_{n-1}$ [/mm] , sind diese Nullstellen auch einfache Nullstellen von p'
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Piatty |
okay nach satz von rolle hab ich es jetzt verstanden.
Aber wie beweise ich das mit dem Zwischenwertsatz?
|
|
|
| |
|
> okay nach satz von rolle hab ich es jetzt verstanden.
> Aber wie beweise ich das mit dem Zwischenwertsatz?
Hallo,
meinst Du wirklich den ZWS? Ich frage das, weil in Deinem Eingangspost die Rede ist sowohl von ZWS als auch von MWS.
Wenn Du Dir den MWS und den Satz von Rolle mal anschaust, dann siehst Du, wenn Du im MWS die gleichen Funktionswerte am Intervallanfang und -ende hast, den Satz von Rolle dastehen hast.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Piatty |
Ich meine den Zwischenwertsatz. Ist in der Aufgabe so vorgegeben das ich den benutzen soll.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Mo 15.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei n = grad(p) und $ [mm] x_1, [/mm] $ ..., $ [mm] x_n [/mm] $ seine die Nullstellen von p mit
$ [mm] x_1
Da [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] einfache Nullstellen von p sind, ist [mm] p'(x_1) \not= [/mm] 0 [mm] \not= p'(x_2)
[/mm]
Nun gilt (warum ?)
[mm] p'(x_1)p'(x_2)< [/mm] 0
nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein [mm] z_1 \in (x_1,x_2) [/mm] mit [mm] p'(z_1) [/mm] = 0.
Mit den Intervallen [mm] (x_2,x_3), [/mm] ..., [mm] (x_{n-1}, x_n) [/mm] verfahre genauso
FRED
|
|
|
|
