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Forum "Trigonometrische Funktionen" - Nullstellen von 2*cos(pi/2x)-1
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Nullstellen von 2*cos(pi/2x)-1: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:45 Do 16.10.2014
Autor: hase-hh

Aufgabe
Wie berechnet man alle Nullsellen von

f(x) = [mm] 2*cos(\bruch{\pi}{2}*x) [/mm] - 1


Moin Moin!

Allgemein liegen die Nullstellen einer Kosinusfunktion bei

[mm] x_k [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] k*\pi [/mm]       mit k [mm] \in \IZ [/mm]


Erstens:  wie berücksichtige die Verschiebung nach unten?

Konkret könnte ich nur die erste Basislösung errechnen...

f(x) = 0
[mm] 2*cos(\bruch{\pi}{2}*x) [/mm] - 1 = 0

[mm] cos(\bruch{\pi}{2}*x) [/mm]  = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]      | arccos

[mm] \bruch{\pi}{2}*x [/mm]   =  [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm]

[mm] x_0 [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm]


Aber wie kann ich von da aus die weiteren Lösungen berechnen?



Zweitens: wie berücksichtige ich die verkürzte Periodenlänge?

Hierzu würde mir einfallen...  

wenn ich z.B.  f(x) = 3*cos(b*x) habe, dann wären Nullstellen bei

[mm] x_k [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{\pi}{2} + k*\pi}{b} [/mm]          

richitg?


Danke für eure Hilfe!



        
Bezug
Nullstellen von 2*cos(pi/2x)-1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 Do 16.10.2014
Autor: MathePower

Hallo hase-hh,

> Wie berechnet man alle Nullsellen von
>
> f(x) = [mm]2*cos(\bruch{\pi}{2}*x)[/mm] - 1
>  Moin Moin!
>  
> Allgemein liegen die Nullstellen einer Kosinusfunktion bei
>
> [mm]x_k[/mm] = [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] + [mm]k*\pi[/mm]       mit k [mm]\in \IZ[/mm]
>  
>
> Erstens:  wie berücksichtige die Verschiebung nach unten?
>


Löse die Gleichung f(x)=0, so daß da steht:

[mm]cos(\bruch{\pi}{2}*x)= \ ...[/mm]



> Konkret könnte ich nur die erste Basislösung
> errechnen...
>  
> f(x) = 0
>  [mm]2*cos(\bruch{\pi}{2}*x)[/mm] - 1 = 0
>  
> [mm]cos(\bruch{\pi}{2}*x)[/mm]  = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]      | arccos
>  
> [mm]\bruch{\pi}{2}*x[/mm]   =  [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm]
>  
> [mm]x_0[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>  
>
> Aber wie kann ich von da aus die weiteren Lösungen
> berechnen?
>  


Lasse zunächst diese Lösung stehen:

[mm]\bruch{\pi}{2}*x = \bruch{\pi}{3}[/mm]

Hier ist noch die Periodizität des Cosinus zu berücksichtigen.

Hier gibt es noch eine weitere Lösung, denn

[mm]\cos\left(\bruch{5\pi}{3}\right)=\bruch{1}{2}[/mm]

Demnach gibt es noch eine weitere Gleichung:

[mm]\bruch{\pi}{2}*x = \bruch{5\pi}{3}[/mm]

Hier ist ebenfalls noch die Periodizität des Cosinus zu beachten.


>
>
> Zweitens: wie berücksichtige ich die verkürzte
> Periodenlänge?
>  
> Hierzu würde mir einfallen...  
>
> wenn ich z.B.  f(x) = 3*cos(b*x) habe, dann wären
> Nullstellen bei
>  
> [mm]x_k[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{\pi}{2} + k*\pi}{b}[/mm]          
>
> richitg?
>  


Ja.


>
> Danke für eure Hilfe!
>  


Gruss
MathePower  

Bezug
                
Bezug
Nullstellen von 2*cos(pi/2x)-1: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:18 Do 16.10.2014
Autor: hase-hh

Moin

> Lasse zunächst diese Lösung stehen:
>  
> [mm]\bruch{\pi}{2}*x = \bruch{\pi}{3}[/mm]
>  
> Hier ist noch die Periodizität des Cosinus zu
> berücksichtigen.
>  
> Hier gibt es noch eine weitere Lösung, denn
>  
> [mm]\cos\left(\bruch{5\pi}{3}\right)=\bruch{1}{2}[/mm]

Wie kommst du auf  [mm] \bruch{5*\pi}{3} [/mm]   ???


  

> Demnach gibt es noch eine weitere Gleichung:
>  
> [mm]\bruch{\pi}{2}*x = \bruch{5\pi}{3}[/mm]
>  
> Hier ist ebenfalls noch die Periodizität des Cosinus zu
> beachten.

>
> Gruss
>  MathePower  


Bezug
                        
Bezug
Nullstellen von 2*cos(pi/2x)-1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:29 Do 16.10.2014
Autor: MathePower

Hallo hase-hh,

> Moin
>
> > Lasse zunächst diese Lösung stehen:
>  >  
> > [mm]\bruch{\pi}{2}*x = \bruch{\pi}{3}[/mm]
>  >  
> > Hier ist noch die Periodizität des Cosinus zu
> > berücksichtigen.
>  >  
> > Hier gibt es noch eine weitere Lösung, denn
>  >  
> > [mm]\cos\left(\bruch{5\pi}{3}\right)=\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> Wie kommst du auf  [mm]\bruch{5*\pi}{3}[/mm]   ???
>  


Es gilt doch:

[mm]\cos\left(\bruch{\pi}{3}\right)=\cos\left(2\pi-\bruch{\pi}{3}\right)=\cos\left(\bruch{5\pi}{3}\right)[/mm]


>
>
> > Demnach gibt es noch eine weitere Gleichung:
>  >  
> > [mm]\bruch{\pi}{2}*x = \bruch{5\pi}{3}[/mm]
>  >  
> > Hier ist ebenfalls noch die Periodizität des Cosinus zu
> > beachten.
>  
> >
> > Gruss
>  >  MathePower  
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                        
Bezug
Nullstellen von 2*cos(pi/2x)-1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:49 Do 16.10.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

oder wie man es meiner Meinung nach schneller sieht.

Der Kosinus ist ja gespiegelt an der y-Achse, daher gilt:

[mm] $\cos\left(\bruch{\pi}{3}\right) [/mm] = 0 = [mm] \cos\left(-\bruch{\pi}{3}\right)$ [/mm]

Und aufgrund der Periodizität des Kosinus dann:

$0 = [mm] \cos\left(-\bruch{\pi}{3} + 2\pi\right) [/mm] = [mm] \cos\left(\bruch{5\pi}{3}\right)$ [/mm]

Wegen der Spiegelsymmetrie reicht es übrigens auch, alle positiven Nullstellen zu finden.

Gruß,
Gono

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