Nullstellen und Satz von Rolle < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Mi 12.01.2005 | | Autor: | volta |
Tach auch,
ich hab da so einige Probleme mit einer Aufgabe, vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen. :)
Seien [mm] C_{0}, C_{1},..., C_{n} [/mm] reelle Konstanten mit
[mm] C_{0}+\bruch{C_{1}}{2}+...+\bruch{C_{n-1}}{n}+\bruch{C_{n}}{n+1}=0.
[/mm]
Zeige, daß dann die Gleichung [mm] C_{0}+C_{1}x+...+C_{n}x^{n}=0 [/mm] mindestens eine reelle Wurzel zwischen 0 und 1 hat.
Hinweis: Satz von Rolle.
Zuerst hab ich mal beide Gleichungen gleich gesetzt bzw. die erste nach [mm] C_{0} [/mm] aufgelöst und dann in die zweite eingesetzt, da komm ich auf [mm] \summe_{i=0}^{n}x^{i}C_{i}(1-\bruch{1}{i+1})=0.
[/mm]
Das Polynom ist stetig und diffbar auf [mm] \IR.
[/mm]
Weil [mm] C_{0} [/mm] wegfällt, müsste die erste Nullstelle ja bei x=0 sein.
Nun weiß ich nicht mehr wie es mit dem Satz von Rolle hier weitergehen soll. :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Mi 12.01.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
> [mm]C_{0}+C_{1}x+...+C_{n}x^{n}=0[/mm] mindestens eine reelle Wurzel
> zwischen 0 und 1 hat.
Integrier doch mal die Funktion ...
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Mi 12.01.2005 | | Autor: | volta |
Integration war in der Vorlesung leider noch nicht dran ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Do 13.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo volta!
SEcki hat vollkommen recht. Du brauchst ja nicht wirklich zu integrieren, sondern definiere dir einfach
$F(x):= C_0x + [mm] \frac{C_1}{2}x^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \frac{C_n}{n+1}x^{n+1}$.
[/mm]
Dann gilt:
$F'(x) = [mm] C_0 [/mm] + C_1x + [mm] \ldots [/mm] + [mm] C_nx^n$.
[/mm]
Man rechnet nach:
$F(0)=0$
und
$F(1) = [mm] C_0 [/mm] + [mm] \frac{C_1}{2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \frac{C_n}{n+1} [/mm] = 0$ (nach Voraussetzung).
Nach dem Satz von Rolle muss es ein $x [mm] \in [/mm] (0,1)$ geben mit
$0 = F'(x) = [mm] C_0 [/mm] + C_1x + [mm] \ldots [/mm] + [mm] C_nx^n$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Do 13.01.2005 | | Autor: | volta |
Prima Beweis!
Selbst wäre ich da nie drauf gekommen.
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