Nullstellen sinus/cosinus < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimme alle positiven Nullstellen von [mm] f(x)=x*cos(x^2) [/mm] |
Hallo,
Wie bestimme ich alle positiven Nullstellen von der oben genannten Funktion?
Ich habe 2 Nullstellen rausbekommen, nämlich [mm] x_{1}=0 [/mm] und [mm] x_{2}=\wurzel{\bruch{\pi}{2}} [/mm] indem ich f(x)=0 gesetzt habe.
Aber es gibt doch noch unendlich viele (?) Nullstellen da cosinus periodisch ist oder irre ich mich?
Wie bekomme ich die anderen raus?Und wie bei ner Sinusfunktion?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Di 13.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimme alle positiven Nullstellen von [mm]f(x)=x*cos(x^2)[/mm]
> Hallo,
>
> Wie bestimme ich alle positiven Nullstellen von der oben
> genannten Funktion?
>
> Ich habe 2 Nullstellen rausbekommen, nämlich [mm]x_{1}=0[/mm] und
> [mm]x_{2}=\wurzel{\bruch{\pi}{2}}[/mm] indem ich f(x)=0 gesetzt
> habe.
> Aber es gibt doch noch unendlich viele (?) Nullstellen da
> cosinus periodisch ist oder irre ich mich?
nein, Du irrst nicht. Du hast "zu wenig" herausgefunden.
> Wie bekomme ich die anderen raus?
Es gilt:
[mm] $$x*\cos(x^2)=0$$
[/mm]
genau dann, wenn
$$x=0 [mm] \text{ oder }\cos(x^2)=0\,.$$
[/mm]
Weil (für reelle [mm] $y\,$) $\cos(y)=0$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $y=y_k=\frac{\pi}{2}+k*\pi$ [/mm] ($k [mm] \in \IZ$) [/mm] (beachte: der Kosinus ist zwar [mm] $2\pi$-periodisch, [/mm] aber die Nullstellen des Kosinus "wiederholen sich genau im Abstand [mm] $\pi$") [/mm] rechnest Du weiter
$$x=0 [mm] \text{ oder }\cos(x^2)=0$$
[/mm]
genau dann, wenn
$$x=0 [mm] \text{ oder }x^2=\frac{\pi}{2}+k*\pi\text{ mit einem }k \in \IZ\,.$$
[/mm]
Nun ist das letztstehende äquivalent mit
[mm] $$x^2=x_k^2=\frac{\pi}{2}+k*\pi \text{ mit einem }k \in \IN_0:=\IN \cup \{0\},,$$
[/mm]
da stets [mm] $x^2 \ge [/mm] 0$ gelten wird/muss (wegen $x [mm] \in \IR$). [/mm] Damit kannst Du nun alle [mm] $x_k$ [/mm] konkret(er) angeben.
(Beachte aber: [mm] $x^2=a$ [/mm] ($a [mm] \ge [/mm] 0$) ist gleichwertig mit [mm] $|x|=\sqrt{a}\,$ [/mm] bzw. [mm] $x=\pm\sqrt{a}\,.$)
[/mm]
> Und wie bei ner
> Sinusfunktion?
Ein wenig allgemeiner:
Ist [mm] $g(x)=\sin(f(x))\,,$ [/mm] so ist $g(x)=0$ genau dann, wenn [mm] $f(x)=k*\pi$ [/mm] mit einem $k [mm] \in \IZ$ [/mm] ist. Das ist deshalb so, weil [mm] $\sin(y)=0$ [/mm] genau dann gilt, wenn [mm] $y=k*\pi$ [/mm] mit einem $k [mm] \in \IZ\,.$ [/mm] Mit derartigen Überlegungen beginnt man eigentlich, alles andere ist, jedenfalls meist, "Rumrechnerei".
(Generell kann man auch sagen, dass man mit einer gewissen "Substitution" $y:=f(x)$ rechnet.)
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
|
