Nullstellen eines Polynoms < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Fr 10.11.2006 | | Autor: | feku |
| Aufgabe | Gegeben ist ein normiertes Polynom [mm] p(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_{1}z+a_{0}, [/mm] z [mm] \in \IC [/mm] ,
p(z) kann auch in der Form [mm] p(z)=z^{n}(1+\bruch{a_{n-1}}{z}+...+\bruch{a_{0}}{z^{n}}), (z\not=0) [/mm] geschrieben werden.
1. Begründen Sie: [mm] |\bruch{a_{n-1}}{z}+...+\bruch{a_{0}}{z^{n}}|<1 \Rightarrow p(z)\not=0
[/mm]
2. Es sei [mm] A=max_{0\le{k}\le{n-1}} |a_k| [/mm] , d.h. die größte der Zahlen [mm] |a_{0}|,...,|a_{n-1}|. [/mm] Zeigen Sie durch Abschätzung von [mm] |\bruch{a_{n-1}}{z}|+...+|\bruch{a_{0}}{z^{n}}|, [/mm] dass R=1+A eine mögliche obere Schranke für die Lage der Nullstellen in [mm] \IC [/mm] ist. |
Also bei dieser Aufgabe habe ich einige Schwierigkeiten. Zu Teil 1 habe ich folgenden Ansatz: damit p(z)=0 wird, muss entweder z oder die Klammer 0 werden. z darf per Definition nicht 0 sein und die Klammer wird nur 0, wenn [mm] \bruch{a_{n-1}}{z}+...+\bruch{a_{0}}{z^{n}}=-1 [/mm] ist. Wenn also der Betrag kleiner 1 ist, kann man sich sicher sein, dass [mm] p(z)\not=0 [/mm] ist.
Bei Teil 2 fehlt mir völlig der Ansatz! Denn wie kann man anhand [mm] |\bruch{a_{n-1}}{z}|+...+|\bruch{a_{0}}{z^{n}}| [/mm] eine Schranke für die Nullstellen abschätzen? Bräuchte dringend Hilfe, vielen Dank im Voraus!
|
|
| |
|
Hallo feku,
> Gegeben ist ein normiertes Polynom
> [mm]p(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_{1}z+a_{0},[/mm] z [mm]\in \IC[/mm] ,
> p(z) kann auch in der Form
> [mm]p(z)=z^{n}(1+\bruch{a_{n-1}}{z}+...+\bruch{a_{0}}{z^{n}}), (z\not=0)[/mm]
> geschrieben werden.
> 1. Begründen Sie:
> [mm]|\bruch{a_{n-1}}{z}+...+\bruch{a_{0}}{z^{n}}|<1 \Rightarrow p(z)\not=0[/mm]
>
> 2. Es sei [mm]A=max_{0\le{k}\le{n-1}} |a_k|[/mm] , d.h. die größte
> der Zahlen [mm]|a_{0}|,...,|a_{n-1}|.[/mm] Zeigen Sie durch
> Abschätzung von
> [mm]|\bruch{a_{n-1}}{z}|+...+|\bruch{a_{0}}{z^{n}}|,[/mm] dass R=1+A
> eine mögliche obere Schranke für die Lage der Nullstellen
> in [mm]\IC[/mm] ist.
> Also bei dieser Aufgabe habe ich einige Schwierigkeiten.
> Zu Teil 1 habe ich folgenden Ansatz: damit p(z)=0 wird,
> muss entweder z oder die Klammer 0 werden. z darf per
> Definition nicht 0 sein und die Klammer wird nur 0, wenn
> [mm]\bruch{a_{n-1}}{z}+...+\bruch{a_{0}}{z^{n}}=-1[/mm] ist. Wenn
> also der Betrag kleiner 1 ist, kann man sich sicher sein,
> dass [mm]p(z)\not=0[/mm] ist.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Bei Teil 2 fehlt mir völlig der Ansatz! Denn wie kann man
> anhand [mm]|\bruch{a_{n-1}}{z}|+...+|\bruch{a_{0}}{z^{n}}|[/mm] eine
> Schranke für die Nullstellen abschätzen? Bräuchte dringend
> Hilfe, vielen Dank im Voraus!
Wie waere es denn mit folgendem Ansatz: zeige, wenn $|z|>R:=1+A$ ist, dann ist [mm] $|\bruch{a_{n-1}}{z}+...+\bruch{a_{0}}{z^{n}}|<1$. [/mm] Nach Aufgabe 1 ist dann [mm] $p(z)\ne [/mm] 0$, R ist dann also eine obere schranke fuer die nullstellenmenge von p.
Es ist mit $|z|>R$
[mm] $|\bruch{a_{n-1}}{z}+...+\bruch{a_{0}}{z^{n}}|=\left|\summe_{i=1}^n {\bruch{a_{n-i}}{z^i}}\right [/mm] |$
[mm] $\le \summe_{i=1}^n{\frac{A}{R^i} }$ [/mm] (Dreiecks-Ungl. & Vorauss.)
$=A [mm] \summe_{i=1}^n{(\frac1R)^i}$
[/mm]
Wenn du jetzt noch die geometrische summe/reihe ins spiel bringst, solltest du die gewuenschte abschaetzung erhalten.
Gruss
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:35 Sa 11.11.2006 | | Autor: | feku |
Hallo Matthias,
zuerst einmal vielen Dank für Deine Hilfe. Alledings habe ich immer noch nicht so ganz den Durchblick, was wahrscheinlich auch daran liegt, dass ich mich noch nie zuvor mit komplexen Polynomen beschäftigt habe. Den Ansatz, dass wenn $|z|>R:=1+A$ ,dann ist [mm] $|\bruch{a_{n-1}}{z}+...+\bruch{a_{0}}{z^{n}}|<1$ [/mm] kann ist nachvollziehen, allerdings verstehe ich nicht, woraus die Rechte Seite [mm] $\le \summe_{i=1}^n{\frac{A}{R^i} }$ [/mm] der Ungleichung folgt. Woher kommt diese Summe? Dreiecksungleichung kenne ich, [mm] |a+b|\le|a|+|b| [/mm] aber ich kann sie nicht so recht mit Deinem Ansatz in Verbindung bringen. Es wäre wirklich sehr nett, wenn du den Ansatz noch weiter ausführen könntest, denn ich komme leider noch nicht weiter und müsste die Aufgabe bis Montag fertig haben. Außerdem gibt es noch einen weiteren Unterpunkt, und zwar wie sieht es mit der oberen Nullstellenschranke aus, wenn das Polynom nicht normiert ist? Auch hier würde ich mich über einige Hinweise freuen! Und nochmals (vielen [mm] Dank!)^{2}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mo 13.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
