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| Aufgabe | | [mm] e^1 [/mm] * x + e^-x=0 |
Hallo zusammen,
eigentlich gibt es ja keine blöden Fragen, aber ich stehe gerade echt auf dem Schlauch!
Ich muss die obige Gleichung nach x auflösen: laut MatLab ist x=-1! Soweit so gut. Normalerweise würde ich e^-x ausklammern und dann ist meistens schon klar. Habe jetzt eine Stunde lang alles möglich schon ausprobiert, aber es wird nicht "besser". Könnt ihr mir einen Tipp geben??? Bitte!
LG Jasmin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:23 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jasmin!
Diese Gleichung [mm] $e*x+e^{-x} [/mm] \ = \ 0$ [mm] $\gdw$ $e^{1+x}*x [/mm] \ = \ -1$ lässt sich m.E. nicht geschlossen nach $x \ = \ ...$ auflösen, so dass man hier einfach durch etwas Probieren zum Ziel kommen muss.
Gruß
Loddar
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Probieren...sehr sehr unmathematisch...un da gibt es wirklich keine Alternative? Schade!
Danke!
Jas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jasmin!
Ich sehe hier keine Alternative ... und der Weg des Probierens ist durchaus eine sehr legitime und damit auch mathematische Variante.
Ich erinnere hier einfach mal an das Finden von Nullstellen höhergradiger Polynome, um anschließend eine  Polynomdivision durchzuführen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Sa 10.11.2007 | | Autor: | noebi |
Hallo Jasmin,
Man kann die Gleichung zwar nicht analytisch lösen, aber doch eindeutig beweisen, dass die Lösung x = -1 sein muss.
Dazu schaust du dir die Ableitung an und findest bei dieser eine eindeutige einfache Nullstelle bei x = -1. Durch die zweite Ableitung an der Stelle x = -1 findet man, dass die Funktion bei x = -1 ein absolutes Minimum hat. Damit lässt sich zunächst feststellen, ob die Funktion überhaupt eine Nullstelle hat. Dass die Nullstelle genau das Minimum ist, ist hier ein Glücksfall bzw. vom Aufgabensteller so konstruiert.
Anschaulicher wird's, wenn man die e-Funktionen in Potenzreihen umschreibt. Dann sieht die Gleichung so aus:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x * 1^{n}}{n!} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-x)^{n}}{n!}
[/mm]
Fasst man die Summen noch zusammen, sieht man direkt, dass eine Lösung -1 ist. Aber trotzdem muss man noch beweisen, dass das die einzige Lösung ist. Das geht eben mit dem Minimum, wie oben beschrieben.
Schöne Grüße,
Nöbi.
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