Nullstellen dieser e-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Fr 15.02.2008 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Lösungsmeng in R: [mm] e^x+e=2e^{2-x} [/mm] |
Hallo ihr lieben!
Weiß nicht genau, ob das der richtige Bereich ist, vielleicht gehörts eher in die Unterstufe, aber auf der anderen Seite handelt es sich um eine Funktion..
die lautet [mm] f(x)=e^x+e=2e^{2-x}. [/mm] Ich soll 'nur' die Lösungsmenge bestimmen, hab' ich meine probleme mit, weil ich da lande:
[mm] ln(e^x+e)=(ln2e^{x-2}) [/mm] oder halt
[mm] x=ln(2e^{x-2}-e)
[/mm]
Laut Derive bzw Taschenrechner ist es möglich, eine Lösungsmenge zu bestimmen. Man kann sie auch sehen, x=1 -> e+e=2e -> wahre Aussage..
Aber ich kann sie nicht errechnen, soll das etwa genügen, als "Lösung" zu sagen, dass man das Ergebnis sehen kann?
Gruß,
Kappen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Fr 15.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie die Lösungsmeng in R: [mm]e^x+e=2e^{2-x}[/mm]
> Hallo ihr lieben!
>
> Weiß nicht genau, ob das der richtige Bereich ist,
> vielleicht gehörts eher in die Unterstufe, aber auf der
> anderen Seite handelt es sich um eine Funktion..
>
> die lautet [mm]f(x)=e^x+e=2e^{2-x}.[/mm] Ich soll 'nur' die
> Lösungsmenge bestimmen, hab' ich meine probleme mit, weil
> ich da lande:
>
> [mm]ln(e^x+e)=ln2e^{x-2}[/mm] oder halt x=ln2e^(x-2)-e
>
> Laut Derive bzw Taschenrechner ist es möglich, eine
> Lösungsmenge zu bestimmen. Man kann sie auch sehen, x=1 ->
> e+e=2e -> wahre Aussage..
>
> Aber ich kann sie nicht errechnen, soll das etwa genügen,
> als "Lösung" zu sagen, dass man das Ergebnis sehen kann?
>
> Gruß,
> Kappen
Hallo Kappen,
hier hilft nur die Kenntnis der Potenzgesetze. Die Gleichung [mm]e^x+e=2e^{2-x}[/mm] ist äquivalent zu
[mm]e^x+e=2\bruch{e^2}{e^x}[/mm]
Jetzt bietet es sich an, durch beidseitige Multiplikation von [mm] e^x [/mm] den Bruch zu beseitigen. Danach hast du eine quadratische Gleichung. (Das siehst du spätestens dann, wenn du jedes vorkommende [mm] e^x [/mm] durch eine andere Variable (z.B. "u") ersetzt.
Sieh mal, wie weit du damit kommst.
Viele Grüße
Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 Fr 15.02.2008 | | Autor: | kappen |
omg :[
meine fresse, gut, dass das hier so schnell geht.. peinlich peinlich, bin eigentlich der Meinung, ich würde mich mit Rechengesetzen ganz gut auskennen..
Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Fr 15.02.2008 | | Autor: | kappen |
Ich bins nochmal ...
find' den Fehler nicht, habe mit [mm] z=e^x [/mm] substituiert, aber raus kommt z=2e v z=-e
muss aber heißen : z=-2e v z=e, sonst kommt bei der Rücksubstitution nicht x=1 raus.
Bin grad durch Wind, bitte nicht auslachen ;)
[mm] 2e^2-e^{2x}-e^{x+1}=0
[/mm]
[mm] z=e^x
[/mm]
[mm] z^2+ez=2e^2
[/mm]
[mm] (z-1/2e)^2=2e^2+1/4e^2
[/mm]
[mm] z=1/2e\pm3/2e
[/mm]
wo ist der Fehler?!?!
Gruß & Danke,
Kappen
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Hallo kappen!
[mm] $$e^x+e [/mm] \ = \ [mm] 2*e^{2-x}$$
[/mm]
[mm] $$e^x+e [/mm] \ = \ [mm] 2*e^{2}*e^{-x}$$
[/mm]
[mm] $$e^{2x}+e*e^{x} [/mm] \ = \ [mm] 2*e^{2}$$
[/mm]
[mm] $$e^{2x}+e*e^{x}-2*e^{2} [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$z^2+e*z-2*e^{2} [/mm] \ = \ 0$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Fr 15.02.2008 | | Autor: | kappen |
danke für die Antwort, aber genauso steht es doch auch weiter oben ;)
Ich wollt' nur wissen, wo mein rechenfehler ist ;)
Habe ihn aber entdeckt, bei der quadratischen Ergänzung muss ein plus in der Klammer anstatt des Minus stehen ... Mal wieder ein beschissener Fehler ..
Danke an alle!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Fr 15.02.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo Kappen,
bist du so auf quadratische Ergänzung fixiert? Mir scheint die pq-Formel einfacher.
[mm] z^2+ez-2e^2=0
[/mm]
[mm] z_{1,2}=-\bruch{e}{2}\pm\wurzel{\bruch{e^2}{4}+2e^2}
[/mm]
[mm] z_{1,2}=-\bruch{e}{2}\pm\bruch{3e}{2}
[/mm]
[mm] z_1=e [/mm] --> [mm] x_1=1
[/mm]
[mm] z_2=-2e [/mm] --> keine Lösung für x
Viele Grüße
Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Fr 15.02.2008 | | Autor: | kappen |
:) hi abakus,
wurde mit der quadratischen Ergänzung 'angelernt', mag die einfach.. Klar kann die Mitternachtsformel (bescheuerter Name übrigens ;)) manchmal praktischer sein, aber ich hab' es lieber, wenn ich sehe, was und wie ich rechne, das ist mir bei quadratischer Ergänzung alles klarer.
Gruß,
Kappen
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