Nullstellen berechnen von ExpF < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Trick21 |
| Aufgabe 1 | Ein Pharmaunternehmen produziert ein Medikament, das in Tablettenform verabreicht wird. Der zeitliche Verlauf der Wirkstoffkonzentration im Blut eines Patienten kann in den ersten 24 Stunden nach Einnahme einer Tablette näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 8*t*e^-0,25t, te(0;24), beschrieben werden. Dabei wird die Zeit t in Stunden seit der Einnahme (t =0) und die Wirkstoffkonzentration f(t) im Blut in Milligramm pro Liter (mg/l) gemessen.
b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die maximale Wirkstoffkonzentration im Blut erreicht wird, und geben Sie den maximalen Wert an. |
| Aufgabe 2 | | c) Weisen Sie nach, dass der Graph von f an der Stelle t=8 den einzigen Wendepunkt besitzt. Begründen Sie, dass die Wirkstoffkonzentration zum Zeitpunkt t=8 am stärksten abnimmt. |
Eine Sache noch vorab: Der Graf der Funktion ist auf dem Aufgabenblatt von dem ich die Aufgabe habe mit drauf gezeichnet!
Nun zu meiner Frage (b): Ich suche ja den Hochpunkt, zu dem die maximale Wirkstoffkonzentration im Blut erreicht wird. Dazu habe ich dann einmal die erste Ableitung gebildet: f'(t)= e^(-0,25t) * (8-2t)
Dann f'(t)=0 gesetzt. Hier habe ich jetzt raus gefunden, dass wir eine Nullstelle bei 4 haben. Mein Vorgehen dabei: 1.Schritt: geteilt durch e^(-0,25t). Dann haben wir folgende neue Gleichung 8-2t=0.
Nach t aufgelöst: t=4. Eigentlich dachte ich, dass ich hier mit ln rechnen müsste..jetzt habe ich aber durch einen Koeffizienten geteilt, bei dem unsere Variable t enthalten war um auf die Lösung zu kommen..!?. Wie hätte ich es besser machen sollen? Maximalwert angeben, kein Problem f(4)= 11,72
Frage (c): Weil ich den Wendepunkt berechnen möchte, habe ich die zweite Ableitung unserer Funktion gebildet, die wie folgt heißt: f''(t)= -2e^(-0,25t) * (2-0,25t). Hier bin ich genauso wie bei b vorgegangen. Also erst = 0 gesetzt und danach durch den Koeffizienten -2e^(-0,25t) geteilt. Anschließend die neue Gleichung 2-0,25t = 0 nach t aufgelöst. Kam auch 8 raus..müsste ich hier nicht eigentlich auch mit dem natürlichen Logarithmus rechnen und würde als Begründen reichen, wenn ich folgenden Satz aufschreiben würde: Da wir bei der Nullstellenbestimmung der zweiten Ableitung, die uns die Wendepunkte der Ursprungsfunktion angibt, nur eine Lösung erhielten, hat der Graf folglich auch nur einen Wendepunkt bei t=8..?.
Bei der zweiten Frage von c soll ich begründen, dass die Wirkstoffkonzentration zum Zeitpunkt t = 8 am stärksten abnimmt. Was ich weis ist, dass der Anstieg bzw. Abstieg bei den Wendepunkten am höchsten ist..Ich würde einfach schreiben: Die Wirkstoffkonzentration nimmt bei t = 8 am stärksten ab, weil es der Abzissenwert des Wendepunktes ist, bei dem wir egal unter welchem Sachverhalt stets, die stärkste Zu- oder Abnahme dokumentieren. In unserem Fall Abnahme.
Ich bin sehr gespannt auf eure Antworten und würde mich riesig freuen, wenn mir hier Jemand weiter helfen könnte. Sorry falls ich es bisschen zu ausführlich gemacht habe..
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder sonst wo ins Netz gestellt.
Liebe Grüße Trick21
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Hallo, deine Ableitung ist ok, [mm] f'(t)=e^{-0,25*t}*(8-2t), [/mm] du möchtest jetzt [mm] 0=e^{-0,25*t}*(8-2t) [/mm] lösen, der Faktor [mm] e^{-0,25*t} [/mm] kann nicht gleich Null werden, also ist nur 8-2t=0 zu lösen, die Nullstelle liegt an der Stelle t=4, [mm] f(4)\approx11,77, [/mm] deine 2. Ableitung kannst du noch vereinfachen
[mm] f'(t)=e^{-0,25*t}*(8-2t)
[/mm]
[mm] u=e^{-0,25*t}
[/mm]
[mm] u'=-0,25*e^{-0,25*t}
[/mm]
v=8-2t
v'=-2
[mm] f''(t)=-0,25*e^{-0,25*t}*(8-2t)+e^{-0,25*t}*(-2)
[/mm]
[mm] f''(x)=e^{-0,25*t}*(-2+0,5t)+e^{-0,25*t}*(-2)
[/mm]
[mm] f''(t)=e^{-0,25*t}*(-4+0,5t)
[/mm]
aus -4+0,5t=0 folgt, an der Stelle t=8 liegt der Wendepunkt, es gibt nur diesen einen Wendepunkt,
nun zum letzten Teil: aus der 1. Ableitung bekommst du den Zeitpunkt, zu dem die stärkste Wirkstoffkonzentration im Blut erreicht wird, möchtest du nun bestimmen, zu welchem Zeitpunkt die Wirkstoffkonzentration am stärksten abnimmt, mußt wiederum die Ableitung der 1. Ableitung bilden, also die 2. Ableitung, die an der Stelle t=8 zu Null wird und noch den Nachweis erbringen, es handelt sich um ein Minimum, also f'''(8)>0
Steffi
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