Nullstellen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:17 Mo 07.03.2005 | | Autor: | mausi |
Hallo
wie bestimme ich von dieser Funktion
[mm] \bruch{x^3-3x^2-x+3}{x^3-5x^2-6x} [/mm] den Definitionsbereich,Nullstellen,Polstellen,Lücken sowie ihre Asymptoten???
wäre lieb wenn mir einer das Schritt für Schritt erklären könnte so das ich es auf eine andere Aufgabe anwenden kann mit dem Script kann ich leider nicht so viel anfangen
mfg mausi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:49 Mo 07.03.2005 | | Autor: | mausi |
also ich hab schon mal angefangen
es ist ja eine gebrochen rationale Funktion, NST sind alle NST des Zählerpolynoms, die keine NST des Nennerpolynoms sind
durch probieren hab ich als erste Nullstelle [mm] x_1 [/mm] = -1 gefunden,dann hab ich über Polynomdivision für [mm] x_2 [/mm] = 3 und [mm] x_3 [/mm] = 1
so Polstellen sind alle NST des Nennerpolynoms also quasi [mm] x_1 [/mm] = [mm] 0,x_2=6,x_3 [/mm] = -1 aber die -1 nicht weil die is ja auch eine NST des Zählerpolynoms
so und eine Lücke wären alle gemeinsamen NST des Zählers und Nenners
das wäre ja die -1
so nun bleibt noch Definitionsbrecih und das mit der Asymptote da weiss ich leider nicht weiter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Susi!
Schön, daß Du doch noch ein paar eigene Lösungsansätze nachgeliefert hast ... 
Damit kannst Du Deine Funktion gleich in der faktorisierten Form darstellen:
[mm]f(x) \ = \ \bruch{x^3-3x^2-x+3}{x^3-5x^2-6x}[/mm]
[mm]f(x) \ = \ \bruch{(x+1)*(x-1)*(x-3)}{x*(x+1)*(x-6)}[/mm]
Kürzen:
[mm]f(x) \ = \ \bruch{\blue{1}*(x-1)*(x-3)}{x*\blue{1}*(x-6)} \ = \ \bruch{(x-1)*(x-3)}{x*(x-6)} \ = \ \bruch{x^2 - 4x + 3}{x^2-6x}[/mm]
Definitionsbereich
Die Definitionslücken sind alle Nullstellen des Nenners (bei gebrochen-rationalen Funktionen).
Nullstellen der Funktion
Die Nullstellen der Funktion sind die Nullstellen des Zählers, die nicht Nullstellen des Nenners sind.
Polstellen
Die Polstellen sind die Nullstellen des Nenners, die nicht Nullstellen des Zählers sind.
(behebbare Stetigkeits-)Lücken
Die (behebbaren Stetigkeits-)Lücken sind die Nullstellen des Nenners und des Zählers.
Asymptoten
Für die Ermittlung der Asymptoten (für $x \ [mm] \rightarrow [/mm] \ [mm] \pm \infty$) [/mm] ist hier eine Polynomdivision (Zähler durch Nenner) durchzuführen.
Damit spaltet sich die Funktion nämlich auf in Asymptote und Restglied.
Grüße
Loddar
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