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| Aufgabe | | Welche Aussagen sind richtig ? |
f(z) = [mm] (z^{2}+1-i)(|z|^{2}+\alpha) [/mm] , mit [mm] z\in\IC [/mm] und [mm] \alpha\in\IR [/mm]
1. Für [mm] \alpha>0 [/mm] besitzt f genau 2 Nullstellen
2. Es gibt ein [mm] \alpha\in\IR [/mm] derart, dass f genau 3 Nullstellen besitzt
3.Es gibt mindestens ein [mm] \alpha\in\IR, [/mm] so dass f unendlich viele Nullstellen besitzt
Also wir haben erstmal den Satz vom Nullprodukt angewandt, da kommen wir für [mm] (z^{2}+1-i) [/mm] = 0 auf [mm] z_{0_{1}} [/mm] = [mm] \wurzel[4]{2}*e^{i*\bruch{3}{8}*\pi} [/mm] und [mm] z_{0_{2}} [/mm] = [mm] \wurzel[4]{2}*e^{i*\bruch{11}{8}*\pi} [/mm]
Für [mm] (|z|^{2}+\alpha) [/mm] = 0 haben wir rausbekommen, das [mm] z_{0_{3}} [/mm] = [mm] i*\wurzel{\alpha} [/mm] und [mm] z_{0_{4}} [/mm] = [mm] -i*\wurzel{\alpha}
[/mm]
Also für [mm] \alpha [/mm] = 0 ist klar, dass es 3 Lösungen gibt, aber lau Lösung sind die anderen auch korrekt, warum ? Vielen Dank für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 So 03.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn [mm] \alpha [/mm] negativ ist, hast du die 2 Lösungen von [mm] |z|^2+\alpha=0
[/mm]
nämlich etwa [mm] \alpha=-1
[/mm]
also |z|=1 alle Werte von z auf dem Einheitskreis! entsprechend für alle [mm] \alpha=-r, [/mm] r>0.
Gruss leduart
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