Nullstelle von Polynom < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Sa 22.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Leute :)
Ich habe ein kleines Problemchen.. ich weiss nicht genau, ob ich nicht einfach ein Brett vor dem Kopf habe oder ob es tatsächlich nicht so trivial ist..
Ich habe ein Polynom gegeben, f(x) = [mm] x^{3}-x^{2}-2x-8 [/mm] und ich bezeichne mit [mm] \alpha [/mm] eine Nullstelle, also [mm] f(\alpha) [/mm] = 0.
(Das ganze bezieht sich auf das Beispiel von Dedekind für Ganzheitsringe ohne Potenzbasis)
Nun definiere ich [mm] \beta [/mm] := [mm] \alpha(\alpha [/mm] - 1)/2
Was ich nun suche, ist ein Polynom g, so dass [mm] g(\beta) [/mm] = 0
Wie genau stelle ich das an??
Danke für eure Hilfe :)
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Sa 22.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Was ich nun suche, ist ein Polynom g, so dass [mm]g(\beta)[/mm] = 0
Konstruktiv? Also es muss so eins ja geben, weil [m]\beta[/m] im Körper adjungiert [m]\alpha[/m] liegt. Dh du suchst das Minimalpolynom von [m]\beta[/m] in [m]\IQ(\alpha)[/m]. Dann würde ich mal anfangen [m]1,\beta,...[/m] anzuschauen, und eine minimal lin.unabh. System zu finden (als [m]\IQ-[/m]Vektorraum). Sei zB [m]1,\beta[/m] lin.unabh, aber [m]\beta^2=a+b*\beta, a,b\in \IZ[/m]. Dann hast du dein Polynom. Ist das mühselig? Ich denke ja - aber iirc gibt es echt keinen besseren Weg als ein Haufen lineare Algebra zu bemühen. (Hier bist du entweder bei [m]\beta^2[/m] fertig, oder aber [m]\beta^3[/m] tut es)
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:34 So 23.05.2010 | | Autor: | felixf |
Moin SEcki!
> > Was ich nun suche, ist ein Polynom g, so dass [mm]g(\beta)[/mm] = 0
>
> Konstruktiv? Also es muss so eins ja geben, weil [m]\beta[/m] im
> Körper adjungiert [m]\alpha[/m] liegt. Dh du suchst das
> Minimalpolynom von [m]\beta[/m] in [m]\IQ(\alpha)[/m]. Dann würde ich
> mal anfangen [m]1,\beta,...[/m] anzuschauen, und eine minimal
> lin.unabh. System zu finden (als [m]\IQ-[/m]Vektorraum). Sei zB
> [m]1,\beta[/m] lin.unabh, aber [m]\beta^2=a+b*\beta, a,b\in \IZ[/m]. Dann
> hast du dein Polynom. Ist das mühselig? Ich denke ja -
> aber iirc gibt es echt keinen besseren Weg als ein Haufen
> lineare Algebra zu bemühen. (Hier bist du entweder bei
> [m]\beta^2[/m] fertig, oder aber [m]\beta^3[/m] tut es)
Ja, das ist sozusagen der "beste Weg" -- bis auf das du von vorneherein den Fall [mm] $\beta^2 [/mm] = a + b [mm] \beta$ [/mm] ausschliessen kannst. Denn in dem Fall waere [mm] $[\IQ(\beta) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = 2$ nach dem Gradsatz ein Teiler von [mm] $[\IQ(\alpha) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = 3$ -- ein Widerspruch!
Ganz allgemein kann man eine [mm] $\IQ$-Basis [/mm] von [mm] $\IQ(\alpha)$ [/mm] nehmen, und die Matrix fuer den Endomorphismus "Multiplikation mit [mm] $\beta$" [/mm] hinschreiben, also fuer [mm] $\varphi [/mm] : x [mm] \mapsto [/mm] x [mm] \beta$. [/mm] Dessen Minimalpolynom ist das gesuchte Minimalpolynom; und man kann erstmal das char. Poly. ausrechnen und faktorisieren. In diesem Fall ist das char. Poly. gleich dem Minimalpolynom.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 So 23.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Danke für eure Antworten!
Hier kommt die wahrscheinlich bescheuerste Frage bisher.. aber ich komm grad net auf nen Punkt... :S
Wenn ich das richtig verstehe, muss ich um zu zeigen, dass [mm] \beta [/mm] die Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten in [mm] \IZ [/mm] ist nur das Minimalpolynom berechnen. Dies lässt sich als Faktorisierung des Charakteristischen Polynoms gewinnen.
Gut.. Jetzt brauche ich also nur eine Darstellende Matrix für den Endomorphismus, der ein Element x [mm] \in \IQ(\alpha) [/mm] nach [mm] x\beta [/mm] abbildet.
Ich nehme also eine [mm] \IQ-Basis [/mm] von [mm] \IQ(\alpha), [/mm] und hier happerts schon.. ich weiss nicht ob ich das darf, aber ich hätte jetzt einfach die Potenzbasis [mm] \{1,\alpha,\alpha^{2}\}. [/mm] (Wenn das bescheuert ist, entschuldigt.. ^^)
Gut.. wenn ich jetzt also 1 [mm] \mapsto \beta [/mm] betrachte, erhalte ich 1 [mm] \mapsto \frac{1}{2}\alpha^{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{2}\alpha [/mm] und alles ist schön und gut
Jetzt aber, [mm] \alpha \mapsto \alpha\beta [/mm] ... Jetzt kriege ich Terme mit [mm] \alpha^{3}.. [/mm] wie soll ich das denn bitte schön als Linearkombination der Basisvektoren darstellen?
Ich glaube, ich habe hier eine Riesenlücke und hoffe, ihr könnt sie zumindest ein bisschen schliessen.. Darstellungsmatrizen waren nie ein Problem, aber die Basen der Zahlkörper.. die kann ich einfach nicht explizit angeben (ausser bei den quadratischen.. da ist es ja immer etwa gleich)
Ich danke euch für eure Hilfe :)
Grüsse, Amaro
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Man kann auch ein bißchen probieren:
Aus der definierenden Gleichung für [mm]\beta[/mm] folgt ja
(*) [mm]\alpha^2 - \alpha = 2 \beta[/mm]
Und diesen Ausdruck kann man in der Relation für [mm]\alpha[/mm] ersetzen:
[mm]\alpha^3 - \alpha^2 - 2 \alpha - 8 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \alpha \left( \alpha^2 - \alpha \right) - 2 \alpha - 8 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ 2 \alpha \beta - 2 \alpha - 8 = 0[/mm]
Die letzte Gleichung läßt sich leicht nach [mm]\alpha[/mm] auflösen. Das kann man dann wieder in (*) einsetzen, die Gleichung mit dem Hauptnenner durchmultiplizieren - und man hat die Relation für [mm]\beta[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 So 23.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> Die letzte Gleichung läßt sich leicht nach [mm]\alpha[/mm]
> auflösen. Das kann man dann wieder in (*) einsetzen, die
> Gleichung mit dem Hauptnenner durchmultiplizieren - und man
> hat die Relation für [mm]\beta[/mm].
Danke schön.. das hat mich auf die richtige Lösung gebracht! :)
Grüsse, Arcesius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 So 23.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Nun, es geht weiter..
Ich habe bisher eine Zahlkörper K = [mm] \IQ(\alpha), [/mm] wobei
f(x) = [mm] x^{3}-x^{2}-2x-8 [/mm] mit [mm] f(\alpha) [/mm] = 0
g(x) = [mm] x^{3}-2x^{2}+3x-10 [/mm] mit [mm] g(\beta) [/mm] = 0, wobei [mm] \beta [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(\alpha^{2}-\alpha)
[/mm]
Es ergibt sich eine Ganzheitsbasis (sagt man dem so auf Deutsch?) [mm] \{1,\alpha,\beta\} [/mm] (Das muss ich noch zeigen.. vorerst ist es nur eine Basis)
Gut.. jetzt möchte ich die Diskriminante von K über [mm] \IQ [/mm] bezüglich dieser Basis berechnen...
Es gilt [mm] disc_{K} [/mm] = [mm] det\begin{bmatrix} tr(1) & tr(\alpha) & tr(\beta) \\ tr(\alpha) & tr(\alpha^{2}) & tr(\alpha\beta) \\ tr(\beta) & tr(\alpha\beta) & tr(\beta^{2}) \end{bmatrix}
[/mm]
tr(x) ist jeweis die Spur der darstellenden Matrix bezüglich multiplikation mit diesem Element.. insofern wäre z.B tr(1) = 3
Ich habe allerdings Probleme, für alle Elemente die Matrix aufzustellen..
Kann mir jemand anhand von [mm] tr(\alpha) [/mm] vielleicht auf die Sprünge helfen? Ich glaube ich muss das nur mal sehen.. Ich lese die ganze Zeit über die Einbettungen usw. aber konkret kann ich das irgendwie net umsetzen..
Danke für die Hilfe.. :)
Grüsse, Arcesius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 So 23.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich habe allerdings Probleme, für alle Elemente die Matrix
> aufzustellen..
Beachte, dass die SPur linear ist, und sicher daher alle linearen Abbildungen als Summe der drei Abbildungen [m]1,\alpha,\beta[/m] darstellen lassen.
Für [m]\alpha[/m] rechnest du die darstellende Matrix aus: also [m]\alpha*1=0*1+1*\alpha+0*\beta,\alpha*\alpha=0*1+2*\alpha+2*\beta,...[/m] (hoffe, ich hab mich net verrechnet), und die Spur der Matrix wirst du ja berechnen können, oder?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 So 23.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> > Ich habe allerdings Probleme, für alle Elemente die Matrix
> > aufzustellen..
>
> Beachte, dass die SPur linear ist, und sicher daher alle
> linearen Abbildungen als Summe der drei Abbildungen
> [m]1,\alpha,\beta[/m] darstellen lassen.
>
> Für [m]\alpha[/m] rechnest du die darstellende Matrix aus: also
> [m]\alpha*1=0*1+1*\alpha+0*\beta,\alpha*\alpha=0*1+2*\alpha+2*\beta,...[/m]
> (hoffe, ich hab mich net verrechnet), und die Spur der
> Matrix wirst du ja berechnen können, oder?
>
Ja, das sollte dann gehen.. :)
Lass mich mal schaun, ob ich das verstanden habe, indem ich einen Fehler glaube gefunden zu haben...
[mm] \alpha^{2} [/mm] = [mm] 0\cdot1 [/mm] + [mm] 1\cdot\alpha [/mm] + [mm] 2\cdot\beta [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] 2\cdot\frac{1}{2}(\alpha^{2}-\alpha) [/mm] = [mm] \alpha^{2}
[/mm]
Somit ist die Zweite Zeile der Matrix gleich [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
Stimmt das so?
Trotzdem hab ich noch ein Problemchen... [mm] \alpha\cdot\beta [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(\alpha^{3}-\alpha^{2}) [/mm] ... Wie stelle ich denn [mm] \alpha^{3} [/mm] als lin.komb. der Basisvektoren dar?
> SEcki
Grüsse, Arcesius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 So 23.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hey
Sry für den Doppelpost, aber die Mitteilung sollte eine Frage sein...
Also ich versuche also die Elemente als Linearkombination der Basiselemente darzustellen.. beispielsweise ist [mm] \alpha^{2} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] 2\beta
[/mm]
Nun aber die Frage.. was passiert mit höheren Potenzen, die gar nicht in den Basiselementen vorkommen? Also eben, beispielsweise [mm] \alpha\beta [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(\alpha^{3}-\alpha^{2})... [/mm] Wie kann ich das da machen?
Ihr braucht Geduld.. aber dafür danke ich euch :)
Grüsse, Arcesius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 So 23.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\frac{1}{2}(\alpha^{3}-\alpha^{2})...[/mm] Wie kann ich das da
> machen?
Du hast da ein Polynom f, damit hast du eine Gleichung für [m]\alpha^3[/m].
> Ihr braucht Geduld.. aber dafür danke ich euch :)
Es gibt schlimmere.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 So 23.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hey!
Danke für die Hilfe.. jetzt gibts halt viel zu rechnen.. aber mindestens hab ich das Prinzip kapiert :)
Grüsse, Arcesius
P.S. ich kriege -503 raus.. das kommt grad gelegen, da das grad bedeutet, dass [mm] \{1,\alpha,\beta\} [/mm] eine Ganzheitsbasis ist.. da quadratteilerfrei! :)
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