Nullstelle in R[x] < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe folgende Aufgabe vollständig verstanden, verstehe dann aber nicht wie mein Prof die Schlussfolgerung zieht:
Betrachtet wird [mm] f(x)=x^{n}+a_{n-1}*x^{n-1}+...+a_{1}*x+a_{0} \in [/mm] R[x]. Sei [mm] \bruch{a}{b} [/mm] Nullstelle von f(x), so folgt:
[mm] 0=a^{n}+a_{n-1}*a^{n-1}*b+...+a_{0}*b^{n}. [/mm] Also (und das versteh ich nicht): [mm] b|a^{n}. [/mm] Wieso muss b denn [mm] a^{n} [/mm] teilen?
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Hallo Nora,
> Ich habe folgende Aufgabe vollständig verstanden, verstehe
> dann aber nicht wie mein Prof die Schlussfolgerung zieht:
> Betrachtet wird
> [mm]f(x)=x^{n}+a_{n-1}*x^{n-1}+...+a_{1}*x+a_{0} \in[/mm] R[x]. Sei
> [mm]\bruch{a}{b}[/mm] Nullstelle von f(x), so folgt:
> [mm]0=a^{n}+a_{n-1}*a^{n-1}*b+...+a_{0}*b^{n}.[/mm] Also (und das
> versteh ich nicht): [mm]b|a^{n}.[/mm] Wieso muss b denn [mm]a^{n}[/mm]
> teilen?
Nun, $b$ teilt jeden der Summanden [mm] $a_{n-1}a^{n-1}b, a_{n-2}a^{n-2}b^2,....,a_0b^n$, [/mm] also auch die Summe [mm] $a_{n-1}a^{n-1}b+a_{n-2}a^{n-2}b^2+....+a_0b^n$
[/mm]
Außerdem teilt $b$ die [mm] $0=a^n+a_{n-1}a^{n-1}b+a_{n-2}a^{n-2}b^2+...+a_0b^n$
[/mm]
Damit teilt $b$ auch die Differenz [mm] $a_{n-1}a^{n-1}b+a_{n-2}a^{n-2}b^2+....+a_0b^n-\left(a^n+a_{n-1}a^{n-1}b+a_{n-2}a^{n-2}b^2+...+a_0b^n\right)=-a^n$
[/mm]
Damit dann auch [mm] $a^n$
[/mm]
LG
schachuzipus
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