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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Di 12.06.2007 | | Autor: | RedWing |
Hallo,
wir haben folgende Aufgabe bekommen:
bei der Funktion fa(x)=a*x- ln x soll man a so bestimmen, dass genau eine Nullstelle vorliegt.
Nun habe ich mir gedacht, ich setze fa(x)=0, so dass ich erhalte:
ln x = a*x
Nun muss man ja nur noch den Schnittpunkt der beiden Funktionen ermitteln, damit man die Nullstelle bekommt. Nur leider weiß ich nur noch, dass a*x die Tangente von ln x sein müsste und ich den Punkt errechnen muss, wo (ln x)' = 1/x = a beträgt.
Leider habe ich keine Ahnung, wie man das nun konkret berechnet. Habt ihr vielleicht eine Idee, wie ich die Gleichung lösen kann?
Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar.
MfG RedWing
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Hi, RedWing,
> bei der Funktion fa(x)=a*x- ln x soll man a so bestimmen,
> dass genau eine Nullstelle vorliegt.
>
> Nun habe ich mir gedacht, ich setze fa(x)=0, so dass ich
> erhalte:
>
> ln x = a*x
>
> Nun muss man ja nur noch den Schnittpunkt der beiden
> Funktionen ermitteln, damit man die Nullstelle bekommt. Nur
> leider weiß ich nur noch, dass a*x die Tangente von ln x
> sein müsste und ich den Punkt errechnen muss, wo (ln x)' =
> 1/x = a beträgt.
Das ist alles richtig!
Und aus der letzten Gleichung ergibt sich schon mal, dass x = [mm] \bruch{1}{a} [/mm] sein muss.
Weiterhin aber ist immer noch zu beachten, dass auch
ln(x)=ax gelten muss.
Hier setze nun Dein oben bestimmtes x ein:
[mm] ln(\bruch{1}{a}) [/mm] = [mm] a*\bruch{1}{a}
[/mm]
oder vereinfacht:
-ln(a) = 1 <=> ln(a) = -1
und daraus: a = [mm] e^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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