Nullstelle Konstruieren < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 Do 16.12.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | $p [mm] \ge [/mm] 2$ Primzahl mit $p [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 3)$
[mm] $\left(\frac{-3}{p}\right) [/mm] = 1$
Folgere, dass [mm] $T^{2}+T+1$ [/mm] eine Nullstelle in [mm] $\mathbb{F}_{p}$ [/mm] hat. |
Hallo Zusammen
Ich glaube ich steh ein bisschen auf dem Schlauch. Dass diese gleichheit tatsächlich gilt habe ich gezeigt, wodurch ich nun weiss, dass [mm] $\exists [/mm] a [mm] \in \mathbb{Z}: a^{2} \equiv [/mm] -3 (mod p)$.
Nun sollte ich aus $a$ eine Nullstelle des Polynoms konstruieren können... leider haben all meine Ansätze kein richtiges Ergebnis geliefert...
Vielleicht sieht ja jemand sofort, was auf das richtige Resultat führt und kann mir einen Tipp geben?
Ich bedanke mich schon mal!
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:57 Fr 17.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]p \ge 2[/mm] Primzahl mit [mm]p \equiv 1 (mod 3)[/mm]
>
> [mm]\left(\frac{-3}{p}\right) = 1[/mm]
>
> Folgere, dass [mm]T^{2}+T+1[/mm] eine Nullstelle in [mm]\mathbb{F}_{p}[/mm]
> hat.
>
> Hallo Zusammen
>
> Ich glaube ich steh ein bisschen auf dem Schlauch. Dass
> diese gleichheit tatsächlich gilt habe ich gezeigt,
> wodurch ich nun weiss, dass [mm]\exists a \in \mathbb{Z}: a^{2} \equiv -3 (mod p)[/mm].
Ich weiss nicht wozu man das $a$ braucht, bzw. ueberhaupt die Voraussetzung $(-3/p) = 1$...
Da $p [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{3}$ [/mm] gibt es doch eine primitive dritte Einheitswurzel [mm] $\zeta \in \IF_p$, [/mm] womit die drei verschiedenen Nullstellen von [mm] $x^3 [/mm] - 1 = [mm] (x^2 [/mm] + x + 1) (x - 1)$ in [mm] $\IF_p$ [/mm] gerade $1, [mm] \zeta, \zeta^2$ [/mm] sind.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:31 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Arcesius |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Felix!
> Moin!
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> > [mm]p \ge 2[/mm] Primzahl mit [mm]p \equiv 1 (mod 3)[/mm]
> >
> > [mm]\left(\frac{-3}{p}\right) = 1[/mm]
> >
> > Folgere, dass [mm]T^{2}+T+1[/mm] eine Nullstelle in [mm]\mathbb{F}_{p}[/mm]
> > hat.
> >
> > Hallo Zusammen
> >
> > Ich glaube ich steh ein bisschen auf dem Schlauch. Dass
> > diese gleichheit tatsächlich gilt habe ich gezeigt,
> > wodurch ich nun weiss, dass [mm]\exists a \in \mathbb{Z}: a^{2} \equiv -3 (mod p)[/mm].
>
> Ich weiss nicht wozu man das [mm]a[/mm] braucht, bzw. ueberhaupt die
> Voraussetzung [mm](-3/p) = 1[/mm]...
>
> Da [mm]p \equiv 1 \pmod{3}[/mm] gibt es doch eine primitive dritte
> Einheitswurzel [mm]\zeta \in \IF_p[/mm], womit die drei
> verschiedenen Nullstellen von [mm]x^3 - 1 = (x^2 + x + 1) (x - 1)[/mm]
> in [mm]\IF_p[/mm] gerade [mm]1, \zeta, \zeta^2[/mm] sind.
Jops, genau.. Was ich mir nun überlegt hatte ist, ob man mit dem $a$ von oben evtl. [mm] $\zeta$ [/mm] oder [mm] $\zeta^{2}$ [/mm] ausdrucken kann..? Es geht eben darum, dass ich nachher Hensel's Lemma anwenden kann um zu zeigen, dass es [mm] $\xi \in \mathbb{Q}_{p}$ [/mm] mit [mm] $\xi \neq [/mm] 1$ und [mm] $\xi^{3} [/mm] = 1$ gibt.. für das bräuchte ich eben die konkrete Nullstelle (darum wollte ich sie mit $a$ ausdrucken.. war ein Tipp des Dozenten).
Oder kann ich jetzt einfach sagen, ja gut [mm] $\zeta$ [/mm] ist ne Nullstelle, jetzt wende ich Hensel's Lemma hier drauf an..?
Danke dir für die Antwort!
>
> LG Felix
>
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Fr 17.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Jops, genau.. Was ich mir nun überlegt hatte ist, ob man
> mit dem [mm]a[/mm] von oben evtl. [mm]\zeta[/mm] oder [mm]\zeta^{2}[/mm] ausdrucken
> kann..? Es geht eben darum, dass ich nachher Hensel's Lemma
> anwenden kann um zu zeigen, dass es [mm]\xi \in \mathbb{Q}_{p}[/mm]
> mit [mm]\xi \neq 1[/mm] und [mm]\xi^{3} = 1[/mm] gibt.. für das bräuchte
> ich eben die konkrete Nullstelle (darum wollte ich sie mit
> [mm]a[/mm] ausdrucken.. war ein Tipp des Dozenten).
Hmm, ok, wenn du [mm] $\zeta$ [/mm] moeglichst konkret haben willst ist das natuerlich etwas anderes 
(Ich sehe aber nicht, wozu du [mm] $\zeta$ [/mm] explizit brauchst -- es reicht doch, dass $f'(zeta) [mm] \neq [/mm] 0$ ist mit $f = [mm] T^2 [/mm] + T + 1$, und da $f + [mm] (-\frac{T}{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{4}) [/mm] f' = 3/4$ ungleich 0 ist (da $p [mm] \neq [/mm] 2, 3$), folgt [mm] $f'(\zeta) \neq [/mm] 0$.)
Nimm doch mal $x := [mm] \alpha [/mm] a + [mm] \beta$ [/mm] mit [mm] $\alpha, \beta \in \IF_p$, [/mm] und rechne [mm] $x^2 [/mm] + x + 1$ aus. Dies setzt du gleich $0 [mm] \cdot [/mm] a + 0$ und machst Koeffizientenvergleich (sozusagen als Polynom in $a$). Du kannst explizite [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] hinschreiben. (Es sei denn ich hab mich total verrechnet  )
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Felix!
> Moin!
> (Ich sehe aber nicht, wozu du [mm]\zeta[/mm] explizit brauchst -- es
> reicht doch, dass [mm]f'(zeta) \neq 0[/mm] ist mit [mm]f = T^2 + T + 1[/mm],
> und da [mm]f + (-\frac{T}{2} - \frac{1}{4}) f' = 3/4[/mm] ungleich 0
> ist (da [mm]p \neq 2, 3[/mm]), folgt [mm]f'(\zeta) \neq 0[/mm].)
>
> Nimm doch mal [mm]x := \alpha a + \beta[/mm] mit [mm]\alpha, \beta \in \IF_p[/mm],
> und rechne [mm]x^2 + x + 1[/mm] aus. Dies setzt du gleich [mm]0 \cdot a + 0[/mm]
> und machst Koeffizientenvergleich (sozusagen als Polynom in
> [mm]a[/mm]). Du kannst explizite [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] hinschreiben. (Es
> sei denn ich hab mich total verrechnet )
Das hatte ich mal gemacht ohne Ergebnis, ich habs jetzt nochmals versucht.. es geht zwar, aber ich kriege [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \pm \frac{1}{2}$ [/mm] und [mm] $\beta [/mm] = [mm] -\frac{1}{2}$... [/mm] irgendwie will das nicht klappen.. ^^
Ich versuchs mal weiter.. vielleicht hab ich was übersehen weil ich in [mm] $\mathbb{F}_{p}$ [/mm] rechne..
>
> LG Felix
>
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Fr 17.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > (Ich sehe aber nicht, wozu du [mm]\zeta[/mm] explizit brauchst -- es
> > reicht doch, dass [mm]f'(zeta) \neq 0[/mm] ist mit [mm]f = T^2 + T + 1[/mm],
> > und da [mm]f + (-\frac{T}{2} - \frac{1}{4}) f' = 3/4[/mm] ungleich 0
> > ist (da [mm]p \neq 2, 3[/mm]), folgt [mm]f'(\zeta) \neq 0[/mm].)
> >
> > Nimm doch mal [mm]x := \alpha a + \beta[/mm] mit [mm]\alpha, \beta \in \IF_p[/mm],
> > und rechne [mm]x^2 + x + 1[/mm] aus. Dies setzt du gleich [mm]0 \cdot a + 0[/mm]
> > und machst Koeffizientenvergleich (sozusagen als Polynom in
> > [mm]a[/mm]). Du kannst explizite [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] hinschreiben. (Es
> > sei denn ich hab mich total verrechnet )
>
> Das hatte ich mal gemacht ohne Ergebnis, ich habs jetzt
> nochmals versucht.. es geht zwar, aber ich kriege [mm]\alpha = \pm \frac{1}{2}[/mm]
> und [mm]\beta = -\frac{1}{2}[/mm]... irgendwie will das nicht
> klappen.. ^^
Passt doch :) Da $p [mm] \neq [/mm] 2$ ist, ist $2 [mm] \in \IF_p^\ast$, [/mm] womit [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] sehr wohl Sinn macht.
LG Felix
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