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| Aufgabe | f ist 2 fach differenzierbar.
f:(0, [mm] \infty) [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
Für ein a hat f die Eigenschaft, dass f(a) < 0 und f'(a) > 0
und [mm] \forall [/mm] x > a: f''(x) [mm] \ge [/mm] 0
Argumentiere, dass f rechts von a genau eine Nullstelle besitzt. |
Hallo,
was soll ich da noch argumentieren? Ich habe die Skizze gemacht und alles sieht schlüssig aus. f(a) ist negativ, die Ableitung ist positiv, hat also an der Stelle einen Tiefpunkt, die zweite Ableitung ist für alle x > a positiv, also linksgekrümmt, sie muss somit die x Achse rechts von a schneiden, sie macht kurz vor der x Achse keinen Schwenker und konvergiert nicht gegen einen Wert auf der x-Achse oder ähnliches, weil f''(x) [mm] \ge [/mm] 0. Kann man noch was ergänzen?
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo,
vermutlich ist das alles richtig gedacht. Aber bestätigen kann man es nicht, weil du sprachlich alles durcheinander schmeißt. Wenn bspw. f''(x)>0 gilt, dann ist nicht die zweite Ableitung linksgekrümmt, sondern der Graph der Funktion f.
Ich würde etwa so formulieren: aus f'(a)>0 und f''(x)>0 für [mm] x\ge{a} [/mm] folgt, dass die Steigung des Graphen von f rechts von a streng monoton wächst. Mit der Stetigkeit (weshalb ist f stetig?) folgt mit dem Nullstellensatz die Behauptung, denn f kann aus o.g. Gründen keine obere Schranke besitzen. Dies garantiert positive Funktionswerte, daher der Nullstellensatz. Außerdem ist f (rechts von a) streng monoton steigend (wieder: weshalb?), also existiert genau eine Nullstelle.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Fr 13.01.2017 | | Autor: | Omega91 |
Hallo Diophant,
was genau meinst du denn mit Nullstellensatz ? Wohl doch nicht den von Hilbert ???
Lg Omega
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Fr 13.01.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
nein: Bolzano.
Ich habe diese Bezeichnung für den hier vorliegenden Fall des Zwischenwertsatzes gewählt, da ich seit je her an sie gewöhnt bin. Kann sein, dass man heute nur noch 'Zwischenwertsatz' sagt, das ist aber hier doch völlig egal: Es sollte doch klar geworden sein, was inhaltlich gemeint ist?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:04 Fr 13.01.2017 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo, danke für die Antwort. Das ist natürlich besser :) f ist stetig, weil f differenzierbar ist, zweifach.
Liebe Grüße
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