Nullstelle < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Do 26.01.2006 | | Autor: | Xenia |
hallo an alle,
ich soll zeigen, dass die Polynomfunktion [mm]p(x)=x^{3}-x^{2}+ \bruch{1}{4}[/mm] genau eine reelle Nullstelle [mm] x_{0}[/mm] hat. wie loese ich die gleichung [mm]x^{3}-x^{2}+ \bruch{1}{4}=0[/mm]? irgendwie mit ableitung?
ich hoffe ihr koennt mir helfen.
liebe gruesse, xenia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 Do 26.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Xenia,
ich glaube auch, dass hier eine kleine Kurvendiskussion fällig ist! 
Untersuch doch zunächst mal das Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs, also für [mm] $x\rightarrow -\infty$ [/mm] und für [mm] $x\rightarrow\infty$.
[/mm]
Da Polynomfunktionen stetig sind, folgt aus dem Zwischenwertsatz die Existenz mindestens einer reellen Nullstelle (auf diese Weise kann man übrigens auch zeigen, dass JEDES Polynom dritten Grades mindestens eine reelle Nullstelle hat).
Du kennst den Wert an der Stelle $x=0$: $p(0)$. D.h. (wieder nach dem Zwischenwertsatz) eine reelle Nullstelle [mm] $x_{0}$ [/mm] muss im Bereich [mm] $x_{0}\in\IR^{-}=\{x\in\IR\quad |\quad x<0\}$ [/mm] liegen.
Dass es keine weiteren reellen Nullstellen gibt, kannst du dann z.B. durch Berechnung der Extremstellen zeigen.
Ich hoffe, ich habe dir damit ein bisschen weitergeholfen.
Ansonsten frag bitte nochmal nach!
MFG,
Yuma
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