Nullpunkt differenzierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Sultan |
| Aufgabe | Hi, ich bin am verzweifeln hoffe ihr könnt mir weiter helfen
[mm] f(x,y)=\left\{\begin{matrix}
(x^2+y^2)*\sin\left[(x^2+y^2)^{-1/2}\right], & \mbox{für }(x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\
0, & \mbox{für }(x,y)=0\mbox{ }
\end{matrix}\right. [/mm]
zeigen sie, dass f im Nullpunkt differenzierbar ist und dass die beiden partiellen Ableitungen im Nullpunkt unstetig sind |
berechne ich hier die richtungsableitung?
wenn ja ist denn damit gezeigt dass es im nullpunkt differenzierbar ist
und wie genau zeige ish dass es im nullpkt unstetig ist??
Danke im vorraus
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Differenzierbarkeit bei [mm]0 = (0,0)[/mm] heißt, daß es [mm]a_0,b_0 \in \mathbb{R}[/mm] gibt, so daß der für [mm](h,k) \neq (0,0)[/mm] definierte Term
[mm]\frac{\left| f(0+h,0+k) - f(0,0) - \left( a_0 h + b_0 k \right) \right|}{\sqrt{h^2 + k^2}}[/mm]
für [mm](h,k) \to (0,0)[/mm] gegen [mm]0[/mm] strebt.
Versuchen wir es mit [mm]a_0 = b_0 = 0[/mm]. Wegen [mm]f(0,0) = 0[/mm] vereinfacht sich der Ausdruck zu
[mm]\frac{\left| f(h,k) \right|}{\sqrt{h^2 + k^2}} = \frac{\left( h^2 + k^2 \right) \, \left| \sin{\frac{1}{\sqrt{h^2 + k^2}}} \right|}{\sqrt{h^2 + k^2}} = \sqrt{h^2 + k^2} \, \left| \sin{\frac{1}{\sqrt{h^2 + k^2}}} \right|[/mm]
Und was passiert nun für [mm](h,k) \to (0,0)[/mm]? Und was heißt das für Differenzierbarkeit und Wert der Ableitung?
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