Nullmengen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Sa 22.10.2011 | | Autor: | kiwibox |
| Aufgabe | Beweise oder widerlege folgende Aussagen:
a) ist N [mm] \subset \IR^n [/mm] Nullmenge, dann ist N nicht offen
b) ist N [mm] \subset \IR^n [/mm] Nullmenge, dann ist N kompakt
c) ist M [mm] \subset \IR^n [/mm] messbar mit [mm] \lambda(m) [/mm] < [mm] \infty, [/mm] dann ist [mm] \IR^n \backslash [/mm] M messbar mit [mm] \lambda(\IR^n \backslash [/mm] M) = [mm] \infty [/mm] |
Hallo liebes Forum-Team,
irgendwie ist Maßtheorie einfach nicht mein Thema. Am neuem Übungszettel sitze ich seit gestern schon dran, aber bisher keine einziger Aufgabe gelöst. Meine Bücher könnten mir leider auch nicht weiterhelfen, darum hoffe ich nun auf euch, dass zumindest erstmal in eine Aufgabe Licht gebracht wird....
Nach VL gilt: E [mm] \subset \IR^n [/mm] Nullmenge, g.d.w. [mm] \lambda \*(E)=0
[/mm]
[mm] \lambda \* [/mm] bezeichnet sich bei uns als das äußere Maß, welches sich wie folgt [mm] \lambda \*(E):=inf \{\summe_{j \in \IN} \lambda (a_{j}) | E \subset \bigcup_{j \in \IN} Q_{j} mit Q_{j} \in I\}
[/mm]
Soweit so gut, aber was mache ich nun? Mir fehlt jedlicher Ansatz, wie ich vorgehen könnte...
Könnt ihr mir bitte einen Tipp geben, was ich machen muss??
Lg, Kiwibox
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Sa 22.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Beweise oder widerlege folgende Aussagen:
> a) ist N [mm]\subset \IR^n[/mm] Nullmenge, dann ist N nicht offen
> b) ist N [mm]\subset \IR^n[/mm] Nullmenge, dann ist N kompakt
> c) ist M [mm]\subset \IR^n[/mm] messbar mit [mm]\lambda(m)[/mm] < [mm]\infty,[/mm]
> dann ist [mm]\IR^n \backslash[/mm] M messbar mit [mm]\lambda(\IR^n \backslash[/mm]
> M) = [mm]\infty[/mm]
> Hallo liebes Forum-Team,
>
> irgendwie ist Maßtheorie einfach nicht mein Thema. Am
> neuem Übungszettel sitze ich seit gestern schon dran, aber
> bisher keine einziger Aufgabe gelöst. Meine Bücher
> könnten mir leider auch nicht weiterhelfen, darum hoffe
> ich nun auf euch, dass zumindest erstmal in eine Aufgabe
> Licht gebracht wird....
>
> Nach VL gilt: E [mm]\subset \IR^n[/mm] Nullmenge, g.d.w. [mm]\lambda \*(E)=0[/mm]
>
> [mm]\lambda \*[/mm] bezeichnet sich bei uns als das äußere Maß,
> welches sich wie folgt [mm]\lambda \*(E):=inf \{\summe_{j \in \IN} \lambda (a_{j}) | E \subset \bigcup_{j \in \IN} Q_{j} mit Q_{j} \in I\}[/mm]
>
> Soweit so gut, aber was mache ich nun? Mir fehlt jedlicher
> Ansatz, wie ich vorgehen könnte...
Nun, schauen wir uns mal die erste Aussage an. Was ist die kleinste offene Menge, die du kennst? Ist diese zufaellig eine Nullmenge?
Bei der zweiten Aussage: kennst du eine abzaehlbare Menge, die nicht abgeschlossen ist (und somit insb. auch nicht kompakt)?
Bei der dritten Aussage: ueberleg dir warum [mm] $\IR^n \setminus [/mm] M$ messbar ist. Was kannst du ueber [mm] $\lambda(\IR^n)$ [/mm] aussagen, wenn [mm] $\lambda(\IR^n \setminus [/mm] M) < [mm] \infty$ [/mm] ist?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Sa 22.10.2011 | | Autor: | kiwibox |
> Nun, schauen wir uns mal die erste Aussage an. Was ist die
> kleinste offene Menge, die du kennst? Ist diese zufaellig
> eine Nullmenge?
stimmt, die leere Menge ist doch offen, oder?
> Bei der zweiten Aussage: kennst du eine abzaehlbare Menge,
> die nicht abgeschlossen ist (und somit insb. auch nicht
> kompakt)?
kann man nicht auch so argumentieren, da die Aussage a) falsch ist, reicht es wenn ich ein Gegenbeispiel finde, also kann ich den den [mm] \IR^1 [/mm] nehmen und da gilt ja, abgeschlossen + beschränkt = kompakt
Sonst könnte ich mit einpunktigen Mengen argumentieren, oder?
> Bei der dritten Aussage: ueberleg dir warum [mm]\IR^n \setminus M[/mm]
> messbar ist. Was kannst du ueber [mm]\lambda(\IR^n)[/mm] aussagen,
> wenn [mm]\lambda(\IR^n \setminus M) < \infty[/mm] ist?
bei der dritten Aussage bin ich mir überhaupt nicht sicher. Die Definition, die mir zur messbar zur Verfügung steht, ist für mich ein rotes Tuch (Eine Menge E [mm] \subset \IR^n [/mm] heißt Lebesgue-meßbar - bzw. meßbar, im Zeichen E [mm] \in [/mm] L [mm] \equiv L(\IR^n) [/mm] -, wenn [mm] inf\{\lambda\*(F\E)|F>E, F offen\}=0. [/mm] Wenn es also zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 eine offene Menge [mm] F_{\varepsilon} \subset \IR^n [/mm] mit E [mm] \subset F_{\varepsilon} [/mm] und [mm] \lambda\*(F_{\varepsilon}\backslash [/mm] E] [mm] \subset [/mm] E gibt. Für E [mm] \in L(\IR^n) [/mm] bezeichnet [mm] \lambda(E):=\lambda\*(E) [/mm] das Lebesgue-Maß von E.)
Also warum nun [mm] \IR^n\backslash [/mm] M messbar ist, ist dann eher bei mir eine Vermutung, weil M messbar ist.
Wenn [mm] \lambda(\IR^n\backslash [/mm] M) < [mm] \infty [/mm] ist, dann müsste doch, weil eine beliebige Vereinigung von messbaren Mengen wieder messbar ist, [mm] \lambda(\IR^n) [/mm] messbar sein, was aber nicht der Fall ist, oder?
> LG Felix
danke Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Sa 22.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Nun, schauen wir uns mal die erste Aussage an. Was ist die
> > kleinste offene Menge, die du kennst? Ist diese zufaellig
> > eine Nullmenge?
>
> stimmt, die leere Menge ist doch offen, oder?
Exakt.
Das ist uebrigens die einzige offene Menge, die gleichzeitig eine Nullmenge ist.
> > Bei der zweiten Aussage: kennst du eine abzaehlbare Menge,
> > die nicht abgeschlossen ist (und somit insb. auch nicht
> > kompakt)?
>
> kann man nicht auch so argumentieren, da die Aussage a)
Meinst du zufaellig Aussage b)?
> falsch ist, reicht es wenn ich ein Gegenbeispiel finde,
> also kann ich den den [mm]\IR^1[/mm] nehmen und da gilt ja,
> abgeschlossen + beschränkt = kompakt
[mm] $\IR^1$ [/mm] ist nicht beschraenkt und somit nicht kompakt. Aber [mm] $\IR^1$ [/mm] ist auch keine Nullmenge (im [mm] $\IR^1$).
[/mm]
Oder was genau meinst du?
> Sonst könnte ich mit einpunktigen Mengen argumentieren,
> oder?
Einpunktmengen sind Nullmengen und kompakt.
Abzaehlbare Mengen sind ebenfalls Nullmengen.
Am einfachsten ist es also, du suchst nach einer nicht kompakten abzaehlbaren Menge.
> > Bei der dritten Aussage: ueberleg dir warum [mm]\IR^n \setminus M[/mm]
> > messbar ist. Was kannst du ueber [mm]\lambda(\IR^n)[/mm] aussagen,
> > wenn [mm]\lambda(\IR^n \setminus M) < \infty[/mm] ist?
>
> bei der dritten Aussage bin ich mir überhaupt nicht
> sicher. Die Definition, die mir zur messbar zur Verfügung
> steht, ist für mich ein rotes Tuch (Eine Menge E [mm]\subset \IR^n[/mm]
> heißt Lebesgue-meßbar - bzw. meßbar, im Zeichen E [mm]\in[/mm] L
> [mm]\equiv L(\IR^n)[/mm] -, wenn [mm]inf\{\lambda\*(F\E)|F>E, F offen\}=0.[/mm]
> Wenn es also zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] >0 eine offene Menge
> [mm]F_{\varepsilon} \subset \IR^n[/mm] mit E [mm]\subset F_{\varepsilon}[/mm]
> und [mm]\lambda\*(F_{\varepsilon}\backslash[/mm] E] [mm]\subset[/mm] E gibt.
> Für E [mm]\in L(\IR^n)[/mm] bezeichnet [mm]\lambda(E):=\lambda\*(E)[/mm] das
> Lebesgue-Maß von E.)
Das sieht nach einem ziemlich wirren Zeichensalat aus. Das ist sicher nicht die richtige Definition.
Hast du das wirklich genauso im Skript stehen?!
Ansonsten: hast du schonmal gehoert/gelesen, dass die Menge der messbaren Mengen eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist? Bzw. hast du irgendwelche "Rechenregeln" fuer messbare Mengen? Etwa sowas wie "abzaehlbare Vereinigung messbarer Mengen ist messbar" bzw. das gleiche fuer Durchschnitt?
> Also warum nun [mm]\IR^n\backslash[/mm] M messbar ist, ist dann eher
> bei mir eine Vermutung, weil M messbar ist.
Ja. Mit der passenden Rechenregel bekommt man das sofort hin. Oder wenn man weiss, dass die Menge der messbaren Mengen eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist.
> Wenn [mm]\lambda(\IR^n\backslash[/mm] M) < [mm]\infty[/mm] ist, dann müsste
> doch, weil eine beliebige Vereinigung von messbaren Mengen
> wieder messbar ist, [mm]\lambda(\IR^n)[/mm] messbar sein, was aber
> nicht der Fall ist, oder?
Vorsicht! [mm] $\IR^n$ [/mm] ist sehr wohl messbar. Und [mm] $\lambda(\IR^n)$ [/mm] ist eine Zahl (oder [mm] $\infty$), [/mm] aber nichts, was messbar oder nicht messbar sein kann!
Jetzt schreib nochmal, was du eigentlich schreiben wolltest.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Sa 22.10.2011 | | Autor: | kiwibox |
> [mm]\IR^1[/mm] ist nicht beschraenkt und somit nicht kompakt. Aber
> [mm]\IR^1[/mm] ist auch keine Nullmenge (im [mm]\IR^1[/mm]).
>
> Oder was genau meinst du?
Ich wollte irgendeine Teilmenge von dem [mm] \IR^1 [/mm] nehmen und sagen, damit die eben kompakt ist, muss diese abgeschlossen und beschränkt sein, aber nach der ersten Aussage wissen wir nun, dass offen sein kann.
> Einpunktmengen sind Nullmengen und kompakt.
Okay, das wusste ich nicht.
> Abzaehlbare Mengen sind ebenfalls Nullmengen.
>
> Am einfachsten ist es also, du suchst nach einer nicht
> kompakten abzaehlbaren Menge.
Sorry, aber mir fällt keine abzählbare Menge, die nicht kompakt ist ein. Ich tue mir sowie so schwer, was genau abzählbar bedeutet...
> Das sieht nach einem ziemlich wirren Zeichensalat aus. Das
> ist sicher nicht die richtige Definition.
Doch. Ich habe es genau so im Skript stehen, darum werde ich ja auch nicht daraus schlau, was mir der Prof damit sagen will.
> Hast du das wirklich genauso im Skript stehen?!
>
> Ansonsten: hast du schonmal gehoert/gelesen, dass die Menge
> der messbaren Mengen eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist? Bzw. hast du
> irgendwelche "Rechenregeln" fuer messbare Mengen? Etwa
> sowas wie "abzaehlbare Vereinigung messbarer Mengen ist
> messbar" bzw. das gleiche fuer Durchschnitt?
Nein, ich habe noch nichts davon gehört. Wir haben Rechenregel zum äußeren Maß gemacht. Aber da auch nur mit der Vereinigung und nicht für den Durchschnitt definiert. Bei der [mm] \sigma [/mm] -Algebra wurde aber Durchschnitt und Vereinigung definiert. Aber wie mir das weiterhelfen soll, weiß ich aber nicht.
> Ja. Mit der passenden Rechenregel bekommt man das sofort
> hin. Oder wenn man weiss, dass die Menge der messbaren
> Mengen eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist.
super. mein prof gibt uns in der Weise ziemlich wenig Werkzeug mit an die Hand.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 So 23.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Ich wollte irgendeine Teilmenge von dem $ [mm] \IR^1 [/mm] $ nehmen und sagen, damit die eben kompakt ist, muss diese abgeschlossen und beschränkt sein, aber nach der ersten Aussage wissen wir nun, dass offen sein kann.
Die Nullmenge ist aber auch kompakt
> Sorry, aber mir fällt keine abzählbare Menge, die nicht kompakt ist ein.
[mm] $\IN$
[/mm]
> Ich tue mir sowie so schwer, was genau abzählbar bedeutet...
gleichmächtig wie [mm] $\IN$
[/mm]
> Doch. Ich habe es genau so im Skript stehen, darum werde ich ja auch nicht daraus schlau, was mir der Prof damit sagen will.
Sicher nicht. Könntest Du das ganze nochmal sauber schreiben und die Vorschau benutzen? Siehe Hilfe zum Formeleditor.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 So 23.10.2011 | | Autor: | kiwibox |
> Die Nullmenge ist aber auch kompakt
ist jede Nullmenge kompakt?
> gleichmächtig wie [mm]\IN[/mm]
und was heißt gleichmächtig genau?
> > Doch. Ich habe es genau so im Skript stehen, darum werde
> ich ja auch nicht daraus schlau, was mir der Prof damit
> sagen will.
>
> Sicher nicht. Könntest Du das ganze nochmal sauber
> schreiben und die Vorschau benutzen? Siehe Hilfe zum
> Formeleditor.
ich habe es nochmal aus der einen Frage heraus kopiert. Es steht genau so in meinem Skript drin. Wie soll ich das denn anderes umschreiben?
Oder gebt mir eine ähnliche Definition an die Hand...
Eine Menge E [mm] \subset \IR^n [/mm] heißt Lebesgue-meßbar, bzw. meßbar (i.Z. E [mm] \in [/mm] L [mm] \equiv L(\IR^n)), [/mm] wenn [mm] inf\{\lambda^\*(F\backslash E)|F>E; F offen\}=0. [/mm] Wenn es also zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 eine offene Menge [mm] F_{\varepsilon} \subset \IR^n [/mm] mit E [mm] \subset F_{\varepsilon} [/mm] und [mm] \lambda^\*(F_{\varepsilon}\backslash [/mm] E) [mm] \subset [/mm] E gibt. Für E [mm] \in L(\IR^n) [/mm] bezeichnet [mm] \lambda(E):=\lambda^\*(E) [/mm] das Lebesgue-Maß von E.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 So 23.10.2011 | | Autor: | Blech |
> ist jede Nullmenge kompakt?
gnaaa, leere Menge meinte ich. Sorry, war spät.
> und was heißt gleichmächtig genau?
Du kannst mir nicht erzählen, daß das nicht in Deinem Skript steht.
Eine Menge A heißt gleichmächtig zu einer Menge B, wenn es eine Bijektion [mm] $f\colon [/mm] A [mm] \to [/mm] B$ gibt.
> [mm] $\inf\{\lambda^\* (F\backslash E)\ |\ F>E; F \text{ offen}\}=0. [/mm] $
Das ist schonmal was ganz anderes, als was oben stand (nicht daß ich mich beschweren darf; leere Menge, Nullmenge, whatever). Irgendwie sind [mm] $\lambda^*(F)$ [/mm] und [mm] $\lambda^*(F\backslash [/mm] E)$ nicht ganz das gleiche. Aber was soll F>E sein?
Und welche Rechenregeln habt Ihr dazu gemacht? Was ist der erste Satz/Lemma/Beispiel nach dieser Definition?
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 So 23.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Aber was soll F>E sein?
Ich tippe auf $F [mm] \supseteq [/mm] E$ (tippt man: $F \supseteq E$).
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:51 So 23.10.2011 | | Autor: | kiwibox |
> Du kannst mir nicht erzählen, daß das nicht in Deinem
> Skript steht.
nein. steht nicht drin. sorry. wir schreiben echt wenig zu so was auf. der prof sieht das alles als selbstverständlich an, was eben mein problem ist. ich weiß dann nicht, was ich alles dafür werkzeug brauche.
> Eine Menge A heißt gleichmächtig zu einer Menge B, wenn
> es eine Bijektion [mm]f\colon A \to B[/mm] gibt.
danke 
wird hatten das Zeichen schon mal als Halbordnung genutzt, kann mir das aber nicht vorstellen dass das damit gemeint ist. Ich nehme echt mal die Teilmengenbeziehung an.
> Und welche Rechenregeln habt Ihr dazu gemacht? Was ist der
> erste Satz/Lemma/Beispiel nach dieser Definition?
was nach der Definition kommt, ist eher dürftig. Wir haben eine Bemerkung gemacht und damit sofort mit Nullmengen angefangen. Kein Lemma, kein Satz, kein Beispiel.
[Bemerkung:
a) Nach Satz (Für jedes E [mm] \subset \IR^n [/mm] gilt: [mm] \lambda\^* (E)=inf\{\lambda\^*(F)|E \subset F, F offen\}) [/mm] gibt es zwar zu beliebigen E [mm] \subset \IR^n [/mm] und jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 immer ein offenes [mm] F_{\varepsilon} \supset [/mm] E mit [mm] \lambda^\*(F_{\varepsilon}) \subset \lambda^\*(E)+\varepsilon; [/mm] dies impliziert aber nicht [mm] \lambda^\*(F_{\varepsilon} \backslash [/mm] E) < [mm] \varepsilon
[/mm]
b) Per Definition sind alle offenen Mengen messbar.
ich finde aber, dieses hilft mir in keiner Weise irgendwie weiter....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Di 25.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
