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| Aufgabe | Hi, könnte mir vielleicht mal jemand erklären, warum zum beispiel die rationalen zahlen eine Nullmenge sind und wie wie man das mit diesen Überdeckungen genau macht? Bei denen ist mir wenigstens noch etwas klar, könntet ihr mir das gleich vieleicht auch für das cantorsche discontinuum zeigen ??
danke |
Das will mir nämlich gar nicht klar werden.
Vom Prinzip her habe ich verstanden, was eine Nullmenge ist, ich verstehe aber absolut nicht, wie man das mit diesen Überdeckungen zeigen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Mo 22.05.2006 | | Autor: | topotyp |
Das folgende habe ich mir selbst ausgedacht aber es sollte stimmen.
Sei [mm] $\phi: \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{N}$ [/mm] eine Bijektion.
Sei [mm] $\epsilon>0$. [/mm] Zu jeder rationalen Zahl [mm] $x\in \mathbb{Q}$ [/mm]
betrachte eine offene Umgebung [mm] $$(x-\epsilon/2^{\phi(x)},x+\epsilon/2^{\phi(x)})\cap \mathbb{Q} [/mm] $$
dann ist deren Vereinigung über alle $x$ gerade [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] und
fürs Volumen hat man
[mm] $$\sum_{x\in \mathb{Q}} \frac{2\epsilon}{2^{\phi(x)}} [/mm] =
[mm] \sum_{\phi(x)\in \mathb{N}} \frac{2\epsilon}{2^{\phi(x)}} [/mm]
= [mm] \sum_{n\in \mathb{N}} \frac{2\epsilon}{2^{n}} [/mm] = [mm] 2\epsilon\eps. [/mm] $$
Weil [mm] $\epsilon$ [/mm] beliebig klein war, ist [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] eine Nullmenge.
Frage an dich: Warum klappt dieselbe Argumentation nicht mit
[mm] $\mathbb{R}$?
[/mm]
Gruss topotyp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Mo 22.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Das folgende habe ich mir selbst ausgedacht aber es sollte
> stimmen.
> Sei [mm]\phi: \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{N}[/mm] eine Bijektion.
> Sei [mm]\epsilon>0[/mm]. Zu jeder rationalen Zahl [mm]x\in \mathbb{Q}[/mm]
> betrachte eine offene Umgebung
> [mm](x-\epsilon/2^{\phi(x)},x+\epsilon/2^{\phi(x)})\cap \mathbb{Q}[/mm]
Das ist nicht offen (in [mm] $\IR$). [/mm] Hier wird ja [mm] $\IQ$ [/mm] als Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] betrachtet.
> dann ist deren Vereinigung über alle [mm]x[/mm] gerade [mm]\mathbb{Q}[/mm]
> und
> fürs Volumen hat man
Das folgende ist eine obere Schranke fuer das Volumen, da die Intervalle sich teilweise ueberlappen!
> [mm][/mm][mm] \sum_{x\in \mathb{Q}} \frac{2\epsilon}{2^{\phi(x)}}[/mm] =
> [mm]\sum_{\phi(x)\in \mathb{N}} \frac{2\epsilon}{2^{\phi(x)}}[/mm]
> = [mm]\sum_{n\in \mathb{N}} \frac{2\epsilon}{2^{n}}[/mm] =
> [mm]2\epsilon\eps.[/mm] [mm][/mm]
> Weil [mm]\epsilon[/mm] beliebig klein war, ist [mm]\mathbb{Q}[/mm] eine
> Nullmenge.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Mo 22.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hi, könnte mir vielleicht mal jemand erklären, warum zum
> beispiel die rationalen zahlen eine Nullmenge sind und wie
> wie man das mit diesen Überdeckungen genau macht? Bei denen
> ist mir wenigstens noch etwas klar, könntet ihr mir das
> gleich vieleicht auch für das cantorsche discontinuum
> zeigen ??
Der Beweis fuer das Cantorsche Diskontinuum unterscheidet sich wesentlich vom Beweis fuer die rationalen Zahlen.
Fuer das Cantorsche Diskontinuum musst du dir folgendes ueberlegen: Wenn du ein paar [mm] $\varepsilon$-Umgebungen [/mm] an geeigneten Stellen plazierst, enthalten diese alle Punkte bis auf endlich viele. Sprich, du kannst die restlichen Punkte mit beliebig kleinen Umbegungen ueberdeckungen, ohne irgendwelche konvergenten Reihen verwenden zu muessen.
Wo du aber nun genau was hinlegen musst musst du dir selber ueberlegen. Schau dir mal die Konstruktion des Diskontinuums an. Wo liegen die `grossen' Luecken (die in alleren spaeteren Schritten nicht weiter `gefuellt' werden) nach $n$ Schritten?
Versuch mal das Komplement der grossen Luecken so zu ueberdecken, dass das Gesamtueberdeckungsvolumen durch etwas abgeschaetzt werden kann, was fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] gegen 0 geht.
LG Felix
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