Nullmatrix, Einheitsmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Mi 16.02.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Wieso kann man eine Nullmatrix bzw. eine Einheitsmatrix nur definieren wenn man eine m x n Matrix über einen Körper K bildet? Wieso geht das beispielsweise auch nicht bei einer Mengen bzw. welche Eigenschaften(weiß ich (Addition,....) -> aber wie kann ich mir das vorstellen?) erfüllt der Körper dass man darauf Einheitsmatrix und Nullmatrix bilden kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 Mi 16.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Reaper!
Du kannst natürlich auch Matrizen über Ringen definieren (eine Addition und Multiplikation sollte schon definiert sein, damit du Matrizen in der üblichen Weise, also über die Komponenten, addieren und multiplizieren kannst; meistens betreibt man die Theorie über Hauptidealringen). Dies wird auch gemacht, wenn man über Moduln (und nicht über Vektorräumen) rechnet.
Zumeist wird die lineare Algebra aber anfangs im Studium mit Vektorräumen betrieben, und diese sind nun mal über Körper definiert. Einige der Sätze gelten einfach nicht mehr, wenn man nicht mehr über Körpern rechnet, gerade was Basen usw. angeht.
Nimm dir mal ein etwas fortgeschritteneres LA-Buch, zum Beispiel von Kowalsky (jedenfalls einige Kapitel daraus), und schau dir mal genau an, was sich dann ändert.
Oder du schaust mal ![[]](/images/popup.gif) hier herein.
Spezielle Moduln, die eine Basis besitzen ("freie Moduln") verhalten sich so ähnlich wie Vektorräume über Körpern.
Also, kurz: Man muss Matrizen nicht zwangsläufig über Körpern definieren, es geht auch über Ringen; allerdings ändert sich dann natürlich die Theorie etwas; es wird komplizierter (und interessanter).
Viele Grüße
Julius
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