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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 So 26.11.2006 | | Autor: | Sahra485 |
Hallo, habe eine Frage:
Grenzwert von:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{2^{n}}{n!}
[/mm]
Meine Lösungsidee:
[mm] |a_{n}| \le \bruch{1}{n!} \le \bruch{1}{n(n-1)} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = 0
Ist diese Vorgehensweise korrekt?
Wie berrechne ich die (Divergenz?) bei
z.B
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{n^n}
[/mm]
Vielen Dank für jede Hilfe...
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo.
Deine Abschätzung ist falsch. Dann müßte ja [mm] 2^{n} \le [/mm] 1 sein!?
Wenn Du [mm] a_{n} [/mm] genau hinschreibst, siehst Du schon das wesentliche:
[mm] \bruch{2^{n}}{n!} [/mm] = [mm] \bruch{2 \*2\* ... \*2}{1 \*2\*...\*n},
[/mm]
wobei oben n-mal die 2 steht. Wenn Du das nun gruppierst, dann sieht' so aus:
[mm] \bruch{2}{1} \*(\bruch{2}{2}\*\bruch{2}{3}\*...)\*\bruch{2}{n}.
[/mm]
Der erste Ausdruck ist zwei, klar, und alles, was in der Klammer steht, ist [mm] \le [/mm] 1! Du kannst das also abschätzen durch
[mm] a_{n} \le 2\*\bruch{2}{n}.
[/mm]
Wenn Du's genau machen willst, solltest Du diese Abschätzung mit vollständiger Induktion beweisen.
[mm] \bruch{n!}{n^{n}} [/mm] konvergiert gegen Null! Ähnliches Vorgehen.
Gruß von Torsten
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