Nullfolge < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Di 22.12.2009 | | Autor: | suxul |
| Aufgabe | Sei a Element [mm] \IR [/mm] für alle n Element [mm] \IN.
[/mm]
Sei [mm] c_{n} [/mm] := [mm] |a_{n}| [/mm] für alle n Element [mm] \IN. [/mm] Zeigen sie:
[mm] (a_{n}) [/mm] ist eine Nullfolge <-> [mm] c_{n} [/mm] ist eine Nullfolge. |
Meine überlegung:
Folge [mm] a_{n} [/mm] heißt Nullfolge, falls es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] n_{0} [/mm] gibt mit :
[mm] |a_{n}<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n>n_{0}
[/mm]
(Aus der Angabe ist [mm] a_{n} [/mm] als Nullfolge eigtl. eh schon vorausgesetzt?!)
Und: Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine Nullfolge und es gelte [mm] -a_{n}\le c_{n}\le a_{n}, [/mm] dann ist [mm] (c_{n}) [/mm] eine Nullfolge.
BEWEIS:
[mm] |b_{n}|<|a{n}|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] m>n_{\varepsilon}
[/mm]
Stimmt die überlegung? und den beweis bekomme ich mit cauchy?
danke :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Di 22.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei a Element [mm]\IR[/mm] für alle n Element [mm]\IN.[/mm]
>
> Sei [mm]c_{n}[/mm] := [mm]|a_{n}|[/mm] für alle n Element [mm]\IN.[/mm] Zeigen sie:
>
> [mm](a_{n})[/mm] ist eine Nullfolge <-> [mm]c_{n}[/mm] ist eine Nullfolge.
> Meine überlegung:
>
> Folge [mm]a_{n}[/mm] heißt Nullfolge, falls es zu jedem
> [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]n_{0}[/mm] gibt mit :
> [mm]|a_{n}<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n>n_{0}[/mm]
Besser: [mm]|a_{n}|<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n>n_{0}[/mm]
> (Aus der Angabe ist [mm]a_{n}[/mm] als Nullfolge eigtl. eh schon
> vorausgesetzt?!)
>
> Und: Sei [mm](a_{n})[/mm] eine Nullfolge und es gelte
> [mm]-a_{n}\lec_{n}\le\varepsilon,[/mm] dann ist [mm](c_{n})[/mm] eine
> Nullfolge.
Da komm ich nicht ganz mit !
>
> BEWEIS:
> [mm]|b_{n}|<|a{n}|<\varepsilon[/mm] für alle [mm]m>n_{\varepsilon}[/mm]
Was ist denn nun plötzlich [mm] b_n [/mm] ????
>
> Stimmt die überlegung?
Nein, man kann Dir kaum folgen !
> und den beweis bekomme ich mit
> cauchy?
Cauchy brauchst Du nicht
FRED
> danke :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Di 22.12.2009 | | Autor: | suxul |
> > Sei a Element [mm]\IR[/mm] für alle n Element [mm]\IN.[/mm]
> >
> > Sei [mm]c_{n}[/mm] := [mm]|a_{n}|[/mm] für alle n Element [mm]\IN.[/mm] Zeigen sie:
> >
> > [mm](a_{n})[/mm] ist eine Nullfolge <-> [mm]c_{n}[/mm] ist eine Nullfolge.
> > Meine überlegung:
> >
> > Folge [mm]a_{n}[/mm] heißt Nullfolge, falls es zu jedem
> > [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]n_{0}[/mm] gibt mit :
> > [mm]|a_{n}<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n>n_{0}[/mm]
>
>
> Besser: [mm]|a_{n}|<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n>n_{0}[/mm]
ok... :)
> > Und: Sei [mm](a_{n})[/mm] eine Nullfolge und es gelte
> > [mm]-a_{n}\lec_{n}\le\varepsilon,[/mm] dann ist [mm](c_{n})[/mm] eine
> > Nullfolge.
>
>
>
> Da komm ich nicht ganz mit !
> >
> > BEWEIS:
> > [mm]|b_{n}|<|a{n}|<\varepsilon[/mm] für alle
> [mm]m>n_{\varepsilon}[/mm]
>
>
>
> Was ist denn nun plötzlich [mm]b_n[/mm] ????
[mm] c_{n} [/mm] natürlich, entschuldigung.
> > und den beweis bekomme ich mit
> > cauchy?
>
> Cauchy brauchst Du nicht
uffff... ok :) -> dann wär ich für einen stubser in die richtige richtung dankbar :)
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Hallo,
> > > Sei a Element [mm]\IR[/mm] für alle n Element [mm]\IN.[/mm]
> > >
> > > Sei [mm]c_{n}[/mm] := [mm]|a_{n}|[/mm] für alle n Element [mm]\IN.[/mm] Zeigen sie:
> > >
> > > [mm](a_{n})[/mm] ist eine Nullfolge <-> [mm]c_{n}[/mm] ist eine Nullfolge.
> > > Meine überlegung:
> > >
> > > Folge [mm]a_{n}[/mm] heißt Nullfolge, falls es zu jedem
> > > [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]n_{0}[/mm] gibt mit :
> > > [mm]|a_{n}<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n>n_{0}[/mm]
> >
> >
> > Besser: [mm]|a_{n}|<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n>n_{0}[/mm]
>
> ok... :)
>
> > > Und: Sei [mm](a_{n})[/mm] eine Nullfolge und es gelte
> > > [mm]-a_{n}\lec_{n}\le\varepsilon,[/mm] dann ist [mm](c_{n})[/mm] eine
> > > Nullfolge.
> >
> >
> >
> > Da komm ich nicht ganz mit !
> > >
> > > BEWEIS:
> > > [mm]|b_{n}|<|a{n}|<\varepsilon[/mm] für alle
> > [mm]m>n_{\varepsilon}[/mm]
> >
> >
> >
> > Was ist denn nun plötzlich [mm]b_n[/mm] ????
> [mm]c_{n}[/mm] natürlich, entschuldigung.
>
> > > und den beweis bekomme ich mit
> > > cauchy?
> >
> > Cauchy brauchst Du nicht
> uffff... ok :) -> dann wär ich für einen stubser in die
> richtige richtung dankbar :)
Du musst eine Äquivalenz zeigen, trenne den Beweis also sauber in die beiden Richtungen [mm] $[\Rightarrow]$ [/mm] und [mm] $[\Leftarrow]$ [/mm] auf.
[mm] $[\Rightarrow]$: [/mm] zu zeigen: [mm] $(a_n)$ [/mm] Nullfolge [mm] $\Rightarrow (|a_n|)$ [/mm] Nullfolge
und
[mm] $[\Leftarrow]$: [/mm] zu zeigen: [mm] $(|a_n|)$ [/mm] Nullfolge [mm] $\Rightarrow (a_n)$ [/mm] Nullfolge
Benutze für beide Richtungen jeweils die [mm] $\varepsilon$-Definition [/mm] und gib das gesuchte [mm] $n(\varepsilon)$ [/mm] direkt an.
Schreibe einfach mal die Defintion hin, dann "siehst" du es schon ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Di 22.12.2009 | | Autor: | suxul |
> Du musst eine Äquivalenz zeigen, trenne den Beweis also
> sauber in die beiden Richtungen [mm][\Rightarrow][/mm] und
> [mm][\Leftarrow][/mm] auf.
>
> [mm][\Rightarrow][/mm]: zu zeigen: [mm](a_n)[/mm] Nullfolge [mm]\Rightarrow (|a_n|)[/mm]
> Nullfolge
>
> und
>
> [mm][\Leftarrow][/mm]: zu zeigen: [mm](|a_n|)[/mm] Nullfolge [mm]\Rightarrow (a_n)[/mm]
> Nullfolge
>
> Benutze für beide Richtungen jeweils die
> [mm]\varepsilon[/mm]-Definition und gib das gesuchte [mm]n(\varepsilon)[/mm]
> direkt an.
> Schreibe einfach mal die Defintion hin, dann "siehst" du es
> schon ...
so schön verständlich die antwort auch ist... ICH muss wiedermal nachfragen :( (ich war die letzten 2 wochen krank und tuh mich grad schwer mit dem skript und der übung... tut mir leid!)
[mm] \varepsilon- [/mm] Def. heißt, dass ich wieder sage [mm] \varepsilon>=0?
[/mm]
nach def. sag ich dann: [mm] |a_{n}|<\varepsilon [/mm] für alle n>= [mm] n_{0} [/mm] ?
somit könnte ich dann sagen, dass:
[mm] 0\le a_{n}\ge |a_{n}|\ge \varepsilon
[/mm]
hilft das was? :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Di 22.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
2 verschiedene Ungleichungszeichen in einer Kette zu haben ist immer schlecht, da das dann wenig aussagt.
Ok, mal von vorne:
[mm] $\varepsilon [/mm] -Definition$:
Eine Folge reeller Zahlen ist konvergent gegen eine reelle Zahl a, falls man für jedes beliebig vorgegebene [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] finden kann, sodass [mm] |a_n-a|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n>n_0.
[/mm]
Bei einer Nullfolge wäre a=0.
Nun zu deiner Aufgabe:
Wie schon gesagt wurde, muss man hier 2 Richtungen zeigen.
Die eine Richtung kann ich ja mal machen, damit du siehst, wie es geht (und damit du siehst, wie einfach das ist, zumindest, wenn man sich alles schön hinschreibt).
Sei also [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge. Dann gibt es zu jedem beliebigen vorgegebenen [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit [mm] |a_n|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n>n_0.
[/mm]
Diese Sache kannst du gleich verwenden, da es ja die Voraussetzung ist.
Nun betrachtet man [mm] c_n=|a_n|.
[/mm]
Zu zeigen: [mm] c_n [/mm] ist eine Nullfolge, also [mm] |c_n|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n>n_0, [/mm] wenn [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ beliebig vorgegeben.
Also kann man das so machen:
[mm] |c_n|=||a_n||=|a_n|
[/mm]
Und was steht nun in der Voraussetzung? Und das heißt das für [mm] c_n?
[/mm]
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 22.12.2009 | | Autor: | suxul |
> Hi!
>
> 2 verschiedene Ungleichungszeichen in einer Kette zu haben
> ist immer schlecht, da das dann wenig aussagt.
>
> Ok, mal von vorne:
> [mm]\varepsilon -Definition[/mm]:
> Eine Folge reeller Zahlen ist
> konvergent gegen eine reelle Zahl a, falls man für jedes
> beliebig vorgegebene [mm]\varepsilon >0[/mm] ein [mm]n_0 \in \IN[/mm] finden
> kann, sodass [mm]|a_n-a|<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n>n_0.[/mm]
>
> Bei einer Nullfolge wäre a=0.
>
> Nun zu deiner Aufgabe:
> Wie schon gesagt wurde, muss man hier 2 Richtungen
> zeigen.
>
> Die eine Richtung kann ich ja mal machen, damit du siehst,
> wie es geht (und damit du siehst, wie einfach das ist,
> zumindest, wenn man sich alles schön hinschreibt).
>
> Sei also [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge. Dann gibt es zu jedem
> beliebigen vorgegebenen [mm]\varepsilon >0[/mm] ein [mm]n_0 \in \IN[/mm] mit
> [mm]|a_n|<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n>n_0.[/mm]
> Diese Sache kannst du gleich verwenden, da es ja die
> Voraussetzung ist.
>
> Nun betrachtet man [mm]c_n=|a_n|.[/mm]
> Zu zeigen: [mm]c_n[/mm] ist eine Nullfolge, also [mm]|c_n|<\varepsilon[/mm]
> für alle [mm]n>n_0,[/mm] wenn [mm]\varepsilon >0[/mm] beliebig vorgegeben.
>
> Also kann man das so machen:
> [mm]|c_n|=||a_n||=|a_n|[/mm]
>
> Und was steht nun in der Voraussetzung? Und das heißt das
> für [mm]c_n?[/mm]
:) :) :) lieber Tufel! :) :) :)
[mm] |c_n| [/mm] muss ja genau so die bedingung für nullfolgen erfüllen, dh.
[mm] |c_{n}-a|< \varepsilon
[/mm]
jetz kann ich nach ang. [mm] c_{n} [/mm] durch Betrag [mm] a_{n} [/mm] ersetzen, was aber auch heißt dass mein a wieder 0 wird, da nullfolge!
-> ich schreibs noch so hin wie du und hab somit gezeigt, dass [mm] c_{n} [/mm] auch eine nullfolge ist :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 Di 22.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Genau, da also [mm] |c_n|=||a_n||=|a_n|<\varepsilon [/mm] gilt, ist [mm] c_n [/mm] auch eine Nullfolge.
Nun musst du aber noch die andere Richtung zeigen (was aber ähnlich abläuft).
Teufel
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