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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Caroline |
Hallo Leute, habe ein Problem bei folgender Aufgabe:
F: [mm] \IR^{n} [/mm] --> [mm] \IR^{n} [/mm] selbstadjungiert und nilpotente lineare Abbildung.
Dann ist F = 0.
Also ich weiß was die ganzen Begriffe bedeuten, selbstadjungiert und nilpotent, aber es hilft mir nichts weiter...
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
LG
Caro
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Hallo...
Da f selbstadjungiert ist weist du ja, dass die Matrixdarstellung von f: [mm] F=F^T
[/mm]
Da f nilpotent ist, ist F ähnlich zu einer Dreiecksmatrix, wobei auf der Diagonalen nur Nullen stehen (da 0 einziger Eigenwert oder auch det(F)=0)...
[mm] \Rightarrow [/mm] somit muss F=0 und somit [mm] f\equiv0 [/mm] sein, da [mm] F=F^T
[/mm]
Tschüß sagt Röby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Caroline |
mmh ja klingt sehr logisch und gar nicht mal so schwer, der trick ist, dass man sagt die Matrix ist dann ähnlich zu einer Dreiecksmatrix, allerdings haben wir sowas nicht in der Vorlesung gemacht, wie kann ich dies zeigen bzw. warum ist dies so, dass eine nilpotente matrix ähnlich zu einer dreiecksmatrix ist? es klingt zwar logisch, da für eine dreiecksmatrix mit 0en in der Diagonalen (hab ich oben vergessen dazuzusagen) sich alle Einträge immer nach rechts bzw. nach links verschieben und irgendwann "weg" sind, aber woran sehe ich, dass eine beliebige nilpotente Matrix ähnlich zu einer Dreiecksmatrix ist?
LG
Caro
EDIT:
Eigener Versuch:
Kann ich folgendes machen:
Da [mm] A^{k} [/mm] = 0 => A hat nur einen Eigenwert, nämlich 0, ansonsten dürfte beim k-fachen Potenzieren nicht die Nullmatrix herauskommen... Das heißt die Jordannormalfor von A ist eine Dreiecksmatrix mit nur 0en auf der Diagonalen und dies bedeutet, da A (trivialerweise  wollte ich immer schon mal sagen) zu ihrer JNF ähnlich ist gilt auch für die Jordannormalform J = [mm] J^{t} [/mm] und somit muss J die Nullmatrix sein bzw. auch A...
LG
Caro
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Hallo Caro...
Soweit richtig, da F nilpotent ist, weist du dass 0 der einzige EW ist...
Und damit hast du es: Somit muss F ähnlich zu einer Dreicksmatrix sein (da F nilpotent), auf deren Diagonalen nur Nullen stehen...
Tschüß sagt Röby
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