Nst. von f(x)=cos x - sin 2x < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:40 Do 19.05.2005 | | Autor: | cinnamon |
Wie kann ich die Funktion f(x)= cos x - sin 2x so umformen, dass ich Nullstellen, Extrem- und Wendestellen ausrechnen kann? Also so, dass man nur noch sin oder cos oder tan in der Funktion hat.
NULLSTELLE:
cos x - sin 2x = 0 | :cos x [cos x ungleich 0]
cos x / cos x - sin 2x / cos x = 0 | sin 2x = 2sin x cos x ???
1 - 2sin x cos x / cos x = 0
1 - 2sin x = 0
sin x = 0,5
x ~ 0,5234 + kp ?
Es muss glaube ich noch eine weitere Nullstelle geben, die entfallen ist, wegen der Division durch cos x.
EXTREMSTELLE:
f ' (x) = -sinx - 2cos 2x = 0 | :cosx
-sin x / cos x - 2cos 2x / cos x = 0 | 2 cos 2x = 2cos²x - sin²x ???
-tan x - (2 cos²x - sin²x)/ cos x
-tan x - 2 cos x - sin x tan x
Nun hab ich tan, cos und sin in der Funktion, aber ich wollte doch nur noch eine trigonometrische Funktion. :(
Ich entschuldige mich für die schlechte Schreibweise, ich hatte nur noch keine Zeit mich damit zu beschäftigen.
Vielen Dank schonmal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:05 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Max |
> Wie kann ich die Funktion f(x)= cos x - sin 2x so
> umformen, dass ich Nullstellen, Extrem- und Wendestellen
> ausrechnen kann? Also so, dass man nur noch sin oder cos
> oder tan in der Funktion hat.
>
> NULLSTELLE:
>
> cos x - sin 2x = 0 | :cos x [cos x ungleich 0]
>
> cos x / cos x - sin 2x / cos x = 0 | sin 2x = 2sin x cos
> x ???
>
> 1 - 2sin x cos x / cos x = 0
>
> 1 - 2sin x = 0
>
> sin x = 0,5
>
> x ~ 0,5234 + kp ?
>
> Es muss glaube ich noch eine weitere Nullstelle geben, die
> entfallen ist, wegen der Division durch cos x.
Ich würde auch die Additionstheoreme benutzen um [mm] $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ [/mm] zu erhalten, dann gilt:
[mm] $\cos(x)-\sin(2x)=0 \gdw \cos(x)-2\sin(x)\cos(x)=0 \gdw \cos(x)\cdot \left(1-2\sin(x)\right)=0 \gdw \left( \cos(x)=0 \vee \sin(x)=\frac{1}{2}\right)\gdw \left(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k \vee x=\frac{\pi}{6}+2\pi l \vee x=\frac{\pi}{2}+2\pi m,\qquad k,l,m\in \IZ\right)$.
[/mm]
> EXTREMSTELLE:
>
> f ' (x) = -sinx - 2cos 2x = 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> -sin x / cos x - 2cos 2x / cos x = 0 | 2 cos 2x = 2cos²x
> - sin²x ???
>
> -tan x - (2 cos²x - sin²x)/ cos x
>
> -tan x - 2 cos x - sin x tan x
>
> Nun hab ich tan, cos und sin in der Funktion, aber ich
> wollte doch nur noch eine trigonometrische Funktion. :(
Ich würde hier besser [mm] $\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$ [/mm] richtig benutzen.
Außerdem gilt nach Pythagoras auch [mm] $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$. [/mm] Also:
[mm] $-\sin(x)-2\cos(2x)=0 \gdw -\sin(x)-2\cdot \left( (1-\sin^2(x))-\sin^2(x)\right)=0 \gdw -\sin(x) [/mm] - 2 [mm] -4\sin^2(x)=0$
[/mm]
Hier kann man [mm] $\sin(x)=u$ [/mm] substituieren. Löst die entstehende quadratische Gleichung und kann durch Resubstitution die Nullstellen finden.
Gruß Max
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