Notation+Dgl. lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Gleichung. Diskutieren Sie über das maximale Existenzintervall der Lösung.
[mm] y'(x)=x^2y^2(x) [/mm] |
Hallo.
Da nun ein neuer Professor die Vorlesung hält, muss man sich auch an neue Notationen gewöhnen. Außerdem habe ich bis jetzt nur wenige Dgl. gelöst, zum beispiel durch Trennung der Variabeln, linearen erster Ordnung mit variabeln Koeffizienten und auch höherer Ordnung.
Nun zur Frage:
Ich weiß nicht, wie ich diese Dgl. zu lesen habe. Mich verwirrt vor allem [mm] y^2(x). [/mm] Bedeutet das hoch 2 die zweite Ableitung und wenn nicht, was wird dem x zugeordnet? Nur y? Kann mir das einer mit seinen Worten erklären?
Da ich in diesem gebiet nur sehr wenig Ahnung habe, hoffe ich, mir kann einer bei meiner Verständnisfrage helfen.
Vielen Dank
TheBozz-mismo
|
|
| |
|
Hallo TheBozz,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden
> Gleichung. Diskutieren Sie über das maximale
> Existenzintervall der Lösung.
> [mm]y'(x)=x^2y^2(x)[/mm]
> Hallo.
> Da nun ein neuer Professor die Vorlesung hält, muss man
> sich auch an neue Notationen gewöhnen. Außerdem habe ich
> bis jetzt nur wenige Dgl. gelöst, zum beispiel durch
> Trennung der Variabeln, linearen erster Ordnung mit
> variabeln Koeffizienten und auch höherer Ordnung.
>
> Nun zur Frage:
> Ich weiß nicht, wie ich diese Dgl. zu lesen habe. Mich
> verwirrt vor allem [mm]y^2(x).[/mm] Bedeutet das hoch 2 die zweite
> Ableitung und wenn nicht, was wird dem x zugeordnet? Nur y?
> Kann mir das einer mit seinen Worten erklären?
Küpper, oder?
[mm]y^2(x)[/mm] meint [mm]\left(y(x)\right)^2[/mm]
Genau wie du etwa auch [mm]\sin^2(x)[/mm] schreibst und damit [mm]\left(\sin(x)\right)^2[/mm] meinst.
Die Dgl kannst du normal durch Trennung lösen.
Beachte, dass auch [mm]y\equiv 0[/mm], also [mm]y:\IR\to\IR, x\mapsto 0[/mm] eine Lösung ist.
Weiter bedenke, dass Lösungen nur auf Intervallen definiert sind, also keine Lücken haben dürfen ...
Löse erstmal die Dgl, dann siehst du schon, wie das mit der Integrationskonstanten zusammenhängt ...
>
> Da ich in diesem gebiet nur sehr wenig Ahnung habe, hoffe
> ich, mir kann einer bei meiner Verständnisfrage helfen.
>
> Vielen Dank
> TheBozz-mismo
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Genau bei Küpper gewöhnliche Dgl.
Also ich würde dann wie folgt vorgehen:
[mm] \bruch{y'(x)}{(y(x))^2}=x^2 [/mm] <=> [mm] \bruch{-1}{y} [/mm] + a= [mm] 1/3x^3 [/mm] + b [mm] (a,b\in \IR)
[/mm]
Fasse die Konstanten als eine Lösung auf c:=a-b
=> [mm] -1+cy=\bruch{1}{3}x^3y
[/mm]
<=> [mm] y=\bruch{-1}{-c+1/3 x^3}
[/mm]
Lösungen sind nur definiert, wenn c ungleich 1/3 [mm] x^3.
[/mm]
Kann das mal einer überprüfen?
Vielen Dank
TheBozz-mismo
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Genau bei Küpper gewöhnliche Dgl.
>
> Also ich würde dann wie folgt vorgehen:
> [mm]\bruch{y'(x)}{(y(x))^2}=x^2[/mm] <=> [mm]\bruch{-1}{y}[/mm] + a= [mm]1/3x^3[/mm] + b [mm](a,b\in \IR)[/mm]
> Fasse die Konstanten als eine Lösung
> auf c:=a-b ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
"Besser" noch $c:=b-a$. Dann hast du die Integrationskonstante nur rechterhand stehen und kannst direkt nach $y=y(x)$ auflösen ...
> => [mm]-1+cy=\bruch{1}{3}x^3y[/mm]
Huch?
Es ist [mm]-\frac{1}{y}=\frac{1}{3}x^3+c=\frac{x^3+3c}{3}[/mm]
Multipliziere mit [mm]-1[/mm] und gehe auf beiden Seiten zum Kehrbruch über:
[mm]\Rightarrow y=-\frac{3}{x^3+3c}[/mm]
Nun untersuche nochmal den Definitionsbereich.
Es gibt 3 Lösungen ...
> <=> [mm]y=\bruch{-1}{-c+1/3 x^3}[/mm]
> Lösungen sind nur
> definiert, wenn c ungleich 1/3 [mm]x^3.[/mm]
>
> Kann das mal einer überprüfen?
>
> Vielen Dank
>
> TheBozz-mismo
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für deine Hilfe.
Hab die 3 Lösungen herausgefunden. Also y=0 und die von dir angegebene mit den verschiedenen Definitionsgebieten.
Dank dir
TheBozz-mismo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Mo 18.10.2010 | | Autor: | peeetaaa |
hey,
ich hab diese aufgabe auch berechnet und kam auch auf [mm] y=-\frac{3}{x^3+3c}
[/mm]
wollte jetzt allerdings das Existenzintervall berechnen aber komme da nicht ganz weiter.
hab jetzt gesagt, dass die DGL nur lösbar ist wenn der Nenner [mm] \not= [/mm] 0 ist
also [mm] x^3+3c \not= [/mm] 0
hab dann nach x aufgelöst und kam auf x= [mm] \wurzel[3]{-3c}
[/mm]
also muss [mm] c\not=0 [/mm] sein
reicht das jetzt schon oder muss ich noch iwas betrachten?
gruß,
peeetaaa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Mo 18.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> hey,
> ich hab diese aufgabe auch berechnet und kam auch auf
> [mm]y=-\frac{3}{x^3+3c}[/mm]
> wollte jetzt allerdings das Existenzintervall berechnen
> aber komme da nicht ganz weiter.
>
> hab jetzt gesagt, dass die DGL nur lösbar ist wenn der
> Nenner [mm]\not=[/mm] 0 ist
> also [mm]x^3+3c \not=[/mm] 0
> hab dann nach x aufgelöst und kam auf x= [mm]\wurzel[3]{-3c}[/mm]
> also muss [mm]c\not=0[/mm] sein
Nein. Im Falle c=0 bekommst Du doch die Lösung $ [mm] y=-\frac{3}{x^3} [/mm] $
Du hast also 2 Lösungen:
$ [mm] y_1(x)=-\frac{3}{x^3} [/mm] $ für x [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty) [/mm]
und
$ [mm] y_2(x)=-\frac{3}{x^3} [/mm] $ für x [mm] \in (-\infty, [/mm] 0)
Weiteres Beispiel: c=-9: Lösung der Dgl: [mm]y=-\frac{3}{x^3-27}[/mm]. Wieder 2 Lösungen:
[mm]y_1(x)=-\frac{3}{x^3-27}[/mm] für x [mm] \in(- \infty,3)
[/mm]
und
[mm]y_2(x)=-\frac{3}{x^3-27}[/mm] für x [mm] \in(3,\infty)
[/mm]
Ist jetzt klar, wie es geht ?
FRED
> reicht das jetzt schon oder muss ich noch iwas
> betrachten?
>
> gruß,
> peeetaaa
|
|
|
|
