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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:50 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Esra |
Hi
Sei V ein mormierter Vektorraum, und sei v ein Vektor mit [mm] \parallel [/mm] v [mm] \parallel [/mm] < 1. Zeigen sie : Die Abbildung
V [mm] \to [/mm] V, x [mm] \mapsto [/mm] x + [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] v
ist bijektiv
ich weiß dass ich bie surjektivitat und injektivität zeigen muss
aber nicht weiss wie ich es machen muss
hoffe einer kann mir weiter helfen
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Esra!
Ich zeige schon einmal die Injektivität:
Aus
[mm] $x+\Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] v = y + [mm] \Vert [/mm] y [mm] \Vert [/mm] v$
folgt:
$x-y = [mm] (\Vert [/mm] y [mm] \Vert [/mm] - [mm] \Vert [/mm] x [mm] \Vert)v$,
[/mm]
also im Falle [mm] $\Vert [/mm] x - y [mm] \Vert>0$:
[/mm]
[mm] $\Vert [/mm] x - y [mm] \Vert [/mm] = [mm] |\Vert [/mm] y [mm] \Vert [/mm] - [mm] \Vert [/mm] x [mm] \Vert| \cdot \Vert [/mm] v [mm] \Vert [/mm] < [mm] |\Vert [/mm] y [mm] \Vert [/mm] - [mm] \Vert [/mm] x [mm] \Vert| \le \Vert [/mm] x - [mm] y\Vert$,
[/mm]
wobei im letzten Schritt die umgekehrte Dreiecksungleichung angewendet wurde. Diese Ungleichung stellt einen Widerspruch dar.
Also muss [mm] $\Vert [/mm] x-y [mm] \Vert=0$ [/mm] gelten und somit $x=y$.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Domi81 |
Wie kann ich denn die Surjektivität überprüfen? Muss ich eine Fallunterscheidung machen für x>0 und x<0 wenn ich den Fall für IR beschränke?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Domi,
dir ein herzliches
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Wie kann ich denn die Surjektivität überprüfen? Muss ich
> eine Fallunterscheidung machen für x>0 und x<0 wenn ich den
> Fall für IR beschränke?
Da es sich bei [mm] $x\in [/mm] V$ um einen Vektor handelt, weiß ich nicht was du mit $x>0$ bzw. $x<0$ meinst? Oder meintest du [mm] $V=\IR$? [/mm] Aber das ist ja nicht in der Aufgabenstellung vorgegeben.
Surjekiv: Eine Funktion $f: V [mm] \to [/mm] V$ heißt surjektiv, wenn [mm] $\forall y\in [/mm] V [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] V: f(x)=y$.
Jetzt musst du begründen, warum dies der Fall ist.
Gruß Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Domi81 |
Ich danke dir, Max. Ich meinte mit x eigentlich einen Vektor aus IR. Ich danke Dir für deine Antwort. War ein wenig verwirrt. Vielleicht hast Du ja einen Tipp zur Aufgabe mit dem Beschränkten Vektorraum unter "Beschränktheit". Grüße aus der schwarz-gelben Metropole...
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