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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Di 07.09.2010 | | Autor: | Vampiry |
| Aufgabe | Die quantenmechanische Wellenfunktion eines eindimensionalen harmonischen Oszillators (z. Bsp. die Schwingung eines zweiatomigen Moleküls) ist gegeben durch:
[mm] \psi (x)=e^{-\bruch{1}{2} *ax^{2}}
[/mm]
Normieren Sie die Wellenfunktion mit dem Skalarprodukt:
[mm] \vec{f} (x)*\vec{g} (x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) g(x) dx} [/mm] . |
Hallo.
Ich habe die Aufgabe mal in dieses Forum gestellt, da es ja hier zum Großteil um Integralrechnung geht.
Also ich habe wieder das alte Problem, dass ich was anderes herausbekomme als die Musterlösung.
Hier ist meine Lösung:
[mm] ||\psi||=\wurzel{\vec{\psi}*\vec{\psi}}
[/mm]
[mm] ||\psi||=\wurzel{\integral{e^{-\bruch{1}{2} *ax^{2}}}dx}
[/mm]
[mm] ||\psi||=(\integral{e^{-\bruch{1}{2} *ax^{2}}dx}*\integral{e^{-\bruch{1}{2} *ay^{2}}dy})^{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] ||\psi||=(\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{\infty} {e^{-\bruch{1}{2} *ar^{2}}rdrd\phi})^{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] ||\psi||=(\integral_{0}^{2\pi} -\bruch{1}{4a} [e^{-\bruch{1}{2} *ar^{2}}]d\phi)^{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] ||\psi||=(-\bruch{1}{4a} \integral_{0}^{2\pi} d\phi)^{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] ||\psi||=(\bruch{1}{4a} [\phi])^{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] ||\psi||=(\bruch{\pi}{2a})^{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] \psi (x)=(\bruch{2a}{\pi})^{\bruch{1}{4}}*e^{-\bruch{1}{2} *ax^{2}}
[/mm]
Frage dazu: Warum fällt das "-" bei [mm] \bruch{1}{4a} [/mm] weg, wenn ich es vor das 2. Integral ziehe? Und warum wird der Bruch in der Wurzel am Ende rezibrok?
Sooo...und hier die Musterlösung:
[mm] ||\psi||=\wurzel{\vec{\psi}*\vec{\psi}}
[/mm]
[mm] ||\psi||=\wurzel{\integral{e^{-ax^{2}}}dx}
[/mm]
[mm] ||\psi||=(\integral{e^{-ax^{2}}dx}*\integral{e^{-ay^{2}}dy})^{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] ||\psi||=(\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{\infty} {e^{-ar^{2}}rdrd\phi})^{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] ||\psi||=(\integral_{0}^{2\pi} -\bruch{1}{2a} [e^{-ar^{2}}]d\phi)^{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] ||\psi||=(-\bruch{1}{2a} \integral_{0}^{2\pi} d\phi)^{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] ||\psi||=(\bruch{1}{2a} [\phi])^{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] ||\psi||=(\bruch{\pi}{a})^{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] \psi (x)=(\bruch{a}{\pi})^{\bruch{1}{4}}*e^{-\bruch{1}{2} *ax^{2}}
[/mm]
Also ich bin der Meinung das in der Musterlösung einfach das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] der Ausgangsfunktion in der Berechnung vergessen wurde.
Falls ich falsch liege, könnt ihr mir erklären, was ich falsch gemacht habe?
Danke!
Vampiry
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Di 07.09.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Vampiry,
> Die quantenmechanische Wellenfunktion eines
> eindimensionalen harmonischen Oszillators (z. Bsp. die
> Schwingung eines zweiatomigen Moleküls) ist gegeben
> durch:
> [mm]\psi (x)=e^{-\bruch{1}{2} *ax^{2}}[/mm]
> Normieren Sie die
> Wellenfunktion mit dem Skalarprodukt:
> [mm]\vec{f} (x)*\vec{g} (x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) g(x) dx}[/mm]
> .
> Hallo.
> Ich habe die Aufgabe mal in dieses Forum gestellt, da es
> ja hier zum Großteil um Integralrechnung geht.
>
> Also ich habe wieder das alte Problem, dass ich was anderes
> herausbekomme als die Musterlösung.
>
> Hier ist meine Lösung:
>
> [mm]||\psi||=\wurzel{\vec{\psi}*\vec{\psi}}[/mm]
> [mm]||\psi||=\wurzel{\integral{e^{-\bruch{1}{2} *ax^{2}}}dx}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Für den Integranden musst du doch hier [mm]f(x)\cdot g(x)=\mathrm{e}^{-\frac12 ax^2}\cdot\mathrm{e}^{-\frac12 ax^2}=\mathrm{e}^{-ax^2}[/mm] berechnen...
>
> [mm]||\psi||=(\integral{e^{-\bruch{1}{2} *ax^{2}}dx}*\integral{e^{-\bruch{1}{2} *ay^{2}}dy})^{\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> [mm]||\psi||=(\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{\infty} {e^{-\bruch{1}{2} *ar^{2}}rdrd\phi})^{\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> [mm]||\psi||=(\integral_{0}^{2\pi} -\bruch{1}{4a} [e^{-\bruch{1}{2} *ar^{2}}]d\phi)^{\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> [mm]||\psi||=(-\bruch{1}{4a} \integral_{0}^{2\pi} d\phi)^{\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> [mm]||\psi||=(\bruch{1}{4a} [\phi])^{\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> [mm]||\psi||=(\bruch{\pi}{2a})^{\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> [mm]\psi (x)=(\bruch{2a}{\pi})^{\bruch{1}{4}}*e^{-\bruch{1}{2} *ax^{2}}[/mm]
>
> Frage dazu: Warum fällt das "-" bei [mm]\bruch{1}{4a}[/mm] weg,
Das Minuszeichen ist von vorneherein falsch (auch in der Musterlösung), denn:
[mm]\int_0^\infty \mathrm{e}^{-ax^2} rdr=\limes_{R\to\infty} \int_0^R \mathrm{e}^{-ax^2} rdr=\limes_{R\to\infty} \left[-\frac{1}{4a}\mathrm{e}^{-ar^2}\right]_0^R=+\frac{1}{4a}[/mm]
> wenn ich es vor das 2. Integral ziehe? Und warum wird der
> Bruch in der Wurzel am Ende rezibrok?
Weil du doch normieren sollst, also durch die Länge teilen sollst.
>
> Sooo...und hier die Musterlösung:
> [mm]||\psi||=\wurzel{\vec{\psi}*\vec{\psi}}[/mm]
> [mm]||\psi||=\wurzel{\integral{e^{-ax^{2}}}dx}[/mm]
>
> [mm]||\psi||=(\integral{e^{-ax^{2}}dx}*\integral{e^{-ay^{2}}dy})^{\bruch{1}{4}}[/mm]
> [mm]||\psi||=(\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{\infty} {e^{-ar^{2}}rdrd\phi})^{\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> [mm]||\psi||=(\integral_{0}^{2\pi} -\bruch{1}{2a} [e^{-ar^{2}}]d\phi)^{\bruch{1}{4}}[/mm]
Hier fehlen die Grenzen, es müsste lauten
[mm]||\psi||=(\integral_{0}^{2\pi} -\bruch{1}{2a} [e^{-ar^{2}}]_0^\infty d\phi)^{\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> [mm]||\psi||=(-\bruch{1}{2a} \integral_{0}^{2\pi} d\phi)^{\bruch{1}{4}}[/mm]
Und hier dann (siehe meine Rechnung oben):
[mm]||\psi||=(\bruch{1}{2a} \integral_{0}^{2\pi} d\phi)^{\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> [mm]||\psi||=(\bruch{1}{2a} [\phi])^{\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> [mm]||\psi||=(\bruch{\pi}{a})^{\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> [mm]\psi (x)=(\bruch{a}{\pi})^{\bruch{1}{4}}*e^{-\bruch{1}{2} *ax^{2}}[/mm]
>
> Also ich bin der Meinung das in der Musterlösung einfach
> das [mm]\bruch{1}{2}[/mm] der Ausgangsfunktion in der Berechnung
> vergessen wurde.
> Falls ich falsch liege, könnt ihr mir erklären, was ich
> falsch gemacht habe?
Ich hoffe, das habe ich getan! 
Viele Grüße,Marc
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