Normen in R^{n} < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:50 Mo 16.06.2014 | | Autor: | Qight |
| Aufgabe | Eine Norm auf auf [mm] \IR^{n} [/mm] ist eine Abbildung [mm] \parallel *\parallel [/mm] : [mm] \IR^{n} \to \IR [/mm] mit den Eigenschaften
(1) [mm]\parallel x \parallel \ge 0 [/mm]für alle x [mm] \in \IR^{n} [/mm] und [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] x = 0,
(2) [mm] \parallel tx\parallel = |t| \parallel x\parallel [/mm] für alle x [mm] \in \IR^{n} [/mm] und t [mm] \in \IR,
[/mm]
(3) [mm] \parallel x+y\parallel \le \parallel x\parallel + \parallel y\parallel [/mm] für alle x,y [mm] \in \IR^{n}.
[/mm]
Zeigen Sie: Die Abbildungen [mm] \parallel*\parallel_1 [/mm] , [mm] \parallel*\parallel_2 [/mm] , [mm] \parallel*\parallel_\infty [/mm] , die definiert sind durch
i) [mm] \parallel x\parallel_1 = \summe_{i=1}^{n}|x_i| [/mm]
ii) [mm] \parallel x \parallel_2 = \wurzel{\summe_{i=1}^{n}|x_i|^{2}}[/mm]
iii) [mm] \parallel x \parallel_\infty = \ sup_{1 \le i \le n} | x_i| [/mm]
für [mm] x = (x_1, \cdots , x_n) \in \IR^{n} [/mm] , sind Normen auf [mm] \IR^{n}.
[/mm]
(Hinweis zu ii) : Beweisen sie die Dreiecksungleichung zunächst für die Fälle n = 1 und n = 2 und benutzen sie dann die vollständige Induktion nach n.) |
Also bei dieser Aufgabe stehe ich irgendwie komplett auf dem Schlauch. Soweit ich das verstanden habe, muss ich die oben genannten Bedingungen auf die Abbildungen anwenden und so überprüfen ob es sich dann um eine Norm im [mm] \IR^{n} [/mm] handelt. Aber irgendwie habe ich keinen blassen Schimmer wie genau ich vorgehen muss.
Ich habe mir mal die Gedanken so gemacht:
i) Da [mm] \parallel x\parallel_1 = \summe_{i=1}^{n}|x_i| [/mm] für [mm] \parallel x\parallel [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] x = 0 gilt und eben auch [mm] \parallel x\parallel \ge [/mm] 0 gilt ist ja die erste Bedingung schon erledigt. Wie soll ich das denn bitte aber zeigen. Wenn [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = 0 ist, muss ich doch von x = 0 ausgehen, oder?
Wie gesagt, hänge da noch einwenig an der Anwendungsweise.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Mo 16.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Eine Norm auf auf [mm]\IR^{n}[/mm] ist eine Abbildung [mm]\parallel *\parallel[/mm]
> : [mm]\IR^{n} \to \IR[/mm] mit den Eigenschaften
> (1) [mm]\parallel x \parallel \ge 0 [/mm]für alle x [mm]\in \IR^{n}[/mm]
> und [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] = 0 [mm]\gdw[/mm] x = 0,
> (2) [mm]\parallel tx\parallel = |t| \parallel x\parallel[/mm] für
> alle x [mm]\in \IR^{n}[/mm] und t [mm]\in \IR,[/mm]
> (3) [mm]\parallel x+y\parallel \le \parallel x\parallel + \parallel y\parallel[/mm]
> für alle x,y [mm]\in \IR^{n}.[/mm]
>
> Zeigen Sie: Die Abbildungen [mm]\parallel*\parallel_1[/mm] ,
> [mm]\parallel*\parallel_2[/mm] , [mm]\parallel*\parallel_\infty[/mm] , die
> definiert sind durch
>
> i) [mm]\parallel x\parallel_1 = \summe_{i=1}^{n}|x_i|[/mm]
> ii)
> [mm]\parallel x \parallel_2 = \wurzel{\summe_{i=1}^{n}|x_i|^{2}}[/mm]
>
> iii) [mm]\parallel x \parallel_\infty = \ sup_{1 \le i \le n} | x_i|[/mm]
>
> für [mm]x = (x_1, \cdots , x_n) \in \IR^{n}[/mm] , sind Normen auf
> [mm]\IR^{n}.[/mm]
>
> (Hinweis zu ii) : Beweisen sie die Dreiecksungleichung
> zunächst für die Fälle n = 1 und n = 2 und benutzen sie
> dann die vollständige Induktion nach n.)
> Also bei dieser Aufgabe stehe ich irgendwie komplett auf
> dem Schlauch. Soweit ich das verstanden habe, muss ich die
> oben genannten Bedingungen auf die Abbildungen anwenden und
> so überprüfen ob es sich dann um eine Norm im [mm]\IR^{n}[/mm]
> handelt. Aber irgendwie habe ich keinen blassen Schimmer
> wie genau ich vorgehen muss.
> Ich habe mir mal die Gedanken so gemacht:
>
> i) Da [mm]\parallel x\parallel_1 = \summe_{i=1}^{n}|x_i|[/mm] für
> [mm]\parallel x\parallel[/mm] = 0 [mm]\gdw[/mm] x = 0 gilt und eben auch
> [mm]\parallel x\parallel \ge[/mm] 0 gilt ist ja die erste Bedingung
> schon erledigt.
Diesen Satz verstehe ich nicht !
> Wie soll ich das denn bitte aber zeigen.
Wenn x=0 ist , so ist [mm] x_1=...=x_n=0, [/mm] also auch $ [mm] \parallel x\parallel_1 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}|x_i| [/mm] =0$
> Wenn [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] = 0 ist, muss ich doch von x = 0
> ausgehen, oder?
Was heißt "ausgehen" ??? Zeigen sollst Du: aus $ [mm] \parallel x\parallel_1=0$ [/mm] folgt x=0.
Ist $ [mm] \parallel x\parallel_1=0$, [/mm] so ist
$ [mm] \summe_{i=1}^{n}|x_i| [/mm] =0$
Nun hast Du eine Summe aus nichtnegativen Summanden und diese Summe =0. Was folgt für die Summanden ?
FRED
> Wie gesagt, hänge da noch einwenig an der Anwendungsweise.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mo 16.06.2014 | | Autor: | Qight |
Danke für die schnelle Antwort Fred. Ich habe das unglücklich formuliert, dass muss ich zugeben. Genau diesen Zusammenhang habe ich damit versucht auszudrücken, sprich, dass durch die (wegen dem Betrag) immer positive Summande dies ja genau zutrifft, mit [mm] \parallel x\parallel_1 \ge [/mm] 0. Und die Gleichung $ [mm] \parallel x\parallel_1 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}|x_i| [/mm] =0 $ kann ja nur eintreffen, wenn eben genau x = 0 gilt. Somit wäre ja die erste Bedingung abgehackt, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Mo 16.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die schnelle Antwort Fred. Ich habe das
> unglücklich formuliert, dass muss ich zugeben. Genau
> diesen Zusammenhang habe ich damit versucht auszudrücken,
> sprich, dass durch die (wegen dem Betrag) immer positive
> Summande dies ja genau zutrifft, mit [mm]\parallel x\parallel_1 \ge[/mm]
> 0. Und die Gleichung [mm]\parallel x\parallel_1 = \summe_{i=1}^{n}|x_i| =0[/mm]
> kann ja nur eintreffen, wenn eben genau x = 0 gilt. Somit
> wäre ja die erste Bedingung abgehackt, oder?
Wenn Du "abgehakt" meinst, ja.
Abhacken ist was anderes
FRED
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