Normen auf Funktionenraum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 So 30.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo,
ich habe auf dem Funktionenraum C([-1,1]) die Normen
[mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_\infty [/mm] = max{|f(x)| ; -1 <= x<=1} und
[mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_1 [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{|f(x)| dx}
[/mm]
gegeben und möchte eine Folge von Funktion aus dem Funktionenraum konstruieren mit [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_\infty [/mm] =1 und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \parallel [/mm] f [mm] \parallel_1 [/mm] = 0.
Ich habe dabei an [mm] f_n [/mm] = [mm] f_{n-1}/2 [/mm] mit [mm] f_0 [/mm] = 1 gedacht,
da [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_\infty [/mm] = [mm] f_0 [/mm] = 1 und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \parallel [/mm] f [mm] \parallel_1 [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{-1}^{1}{|f_{n-1}/2| dx} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{-1}^{1}{|0/2| dx} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{|0| dx} [/mm] = [c] von -1 nach 1 = c-c=0
c ist dabei eine Konstante.
Sind meine Überlegungen richtig, erfüllt also [mm] f_n [/mm] die Bedingungen wirklich?
Viele Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 So 30.09.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Schöne Überlegungen, das ist auch die einfachste mögliche Konstruktion, die die Normen-Bedingungen erfüllt. Die Frage ist nur was f in deiner Aufgabe bedeutet. Ist [mm] f=f_{0}, [/mm] womit auch deine Lösung korrekt wäre, oder ist f die Funktion, gegen deine Funktionenfolge streben soll? In diesem Fall wäre dann f=0 und deine Lösung falsch.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 So 30.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo dormant,
meine Folge von Funktionen ist [mm] f_{n} [/mm] und ich will zeigen [mm] ||f_{n}||_\infty [/mm] = 1 und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||f_{n}|| [/mm] = 0.
Ist damit meine gewählte Folge falsch?
Viele Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 So 30.09.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> meine Folge von Funktionen ist [mm]f_{n}[/mm] und ich will zeigen
> [mm]||f_{n}||_\infty[/mm] = 1 und
Soll das für alle n gelten, oder nur für den Grenzwert? Das gilt bei deiner Konstruktion schon ab [mm] f_{1}=\bruch{1}{2} [/mm] nicht mehr. Du brauchst eher eine Gauß-kurve, die durch (0;1) und immer "schmaler" wird. Oder was ähnliches.
Gruß,
dormant.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 So 30.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo dormant,
das soll nur für den Grenzwert gelten, daher ist dann meine Lösung wohl doch richtig 
Kann man eigentlich mit dem von mir gewählten [mm] f_n [/mm] schon zeigen, dass die beiden Normen nicht äquivalent sind?
Viele Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 So 30.09.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
um die Äquivalenz zu widerlegen, nimmst du z.B. die Funktionenfolge:
[mm] f_{n}(x)=e^{-n²x} [/mm] auf [-1,1].
Die Grenzfunktion ist ja:
f(x)=0 ausser in x=0, denn dort ist f(x)=1.
Daher konvergiert [mm] f_{n} [/mm] bzgl. der L1-Norm gegen f, aber nicht bzgl. der sup-Norm, da die Konvergenz nicht glm. ist, da f unstetig ist.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Mo 01.10.2007 | | Autor: | dormant |
Der Grenzwert deiner Funktionenfolge ist f(x)=0 [mm] \forall x\in [/mm] [-1;1], daher gilt gerade für den Grenzwert [mm] \parallel f\parallel_{\infty}=0 [/mm] und nicht 1. Du sollst die Funktion, die Hund vorgeschlagen hat, benutzen.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Mo 01.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo,
wenn ich die von Hund vorgeschlagene Funktion nehme, erhalte ich aber für
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ||f_n||_1 [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{-1}^{1}{ |e^{-n^2*x}|dx} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[(e^{-n^2*x}/(-n^2)] [/mm] = 0-undef. => undef
Damit ist [mm] ||f_n||_1 [/mm] = undef [mm] \not= [/mm] 0
Viele Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Mo 01.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo elefanti,
es ist besser, eine gerade Funktion zu nehmen. Vermutlich meinte Hund [mm]f_n(x) = \mathrm{e}^{-n^2|x|}[/mm].
Wenn die Funktionen nicht überall differenzierbar sein müssen, kannst du auch diese Funktionenfolge nehmen:
[mm]f_n(x) = \begin{cases} 1 & \text{für $-\bruch{1}{n} \le x \le \bruch{1}{n}$} \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}[/mm]
Für alle n ist [mm]\|f_n\|_\infty = 1[/mm].
[mm] \|f_n\|_1 = \integral_{-1}^{+1}| f_n(x)| dx = \integral_{-1/n}^{+1/n} 1 \, dx = \bruch{2}{n} \mathop{\longrightarrow}\limits_{n\rightarrow\infty}0[/mm]
Ist Differenzierbarkeit von Nöten, nimm [mm]f_n(x) = \mathrm{e}^{-n^2x^2}[/mm]. Das Integral lässt sich durch die ![[]](/images/popup.gif) Fehlerfunktion (7.1.1,7.1.16) ausdrücken,
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Di 02.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Vielen Dank für eure Hilfe!
Viele Grüße
Elefanti
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