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# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich habe folgendes Problem: Wir sollen zeigen, dass für [mm] (x,y)\in \IR² [/mm] sei ||(x,y)||: = |x| + |x-y| eine Norm auf dem [mm] \IR² [/mm] ist.
Dann sollen wir noch: skizziere [mm] B:={(x,y)\in \IR²: ||(x,y)|| \le 1}, [/mm] also den "Einheitskreis" bzgl. dieser Norm.
Um zu beweisen, dass ||*|| eine Norm auf dem [mm] \IR² [/mm] ist, müss ich ja folgende 3 Eigenschaften nachweisen:
(N1) ||x|| [mm] \ge [/mm] 0 , ||x|| = 0
(N2) ||kx|| = |k| * ||x||
(N3) ||x+y|| [mm] \le [/mm] ||x|| + ||y||
Ich habe aber irgendwie Probleme, die nachzuweisen, weil wenn ich die Norm einsetzte erhalte ich ja:
(N1) |x| + |x-y| [mm] \ge [/mm] 0
Bei (N3) weiss ich auch z.B. gar nicht, wie ich das einsetzen soll...
Meine nächstes Problem ist, wovon hämgt es ab, ob man |*| oder ||*|| (einfache oder doppelte) Betragsstriche setzt?
Wie muss ich an die Skizze herangehen, ich hab keine Idee wie ich das zeichnen soll...
Danke schonmal!
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> Also ich habe folgendes Problem: Wir sollen zeigen, dass
> für [mm](x,y)\in \IR²[/mm] sei ||(x,y)||: = |x| + |x-y| eine Norm
> auf dem [mm]\IR²[/mm] ist.
> Dann sollen wir noch: skizziere [mm]B:={(x,y)\in \IR²: ||(x,y)|| \le 1},[/mm]
> also den "Einheitskreis" bzgl. dieser Norm.
>
> Um zu beweisen, dass ||*|| eine Norm auf dem [mm]\IR²[/mm] ist,
> müss ich ja folgende 3 Eigenschaften nachweisen:
> (N1) ||x|| [mm]\ge[/mm] 0 , ||x|| = 0 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
letzteres müsste wohl heissen ||0||=0
> (N2) ||kx|| = |k| * ||x||
> (N3) ||x+y|| [mm]\le[/mm] ||x|| + ||y||
>
> Ich habe aber irgendwie Probleme, die nachzuweisen, weil
> wenn ich die Norm einsetzte erhalte ich ja:
> (N1) |x| + |x-y| [mm]\ge[/mm] 0
> Bei (N3) weiss ich auch z.B. gar nicht, wie ich das
> einsetzen soll...
>
> Meine nächstes Problem ist, wovon hämgt es ab, ob man |*|
> oder ||*|| (einfache oder doppelte) Betragsstriche setzt?
Die einfachen stehen für den gewöhnlichen Absolutbetrag
einer reellen Zahl.
Die doppelten stehen für die neu eingeführte Norm eines
Vektors aus [mm] \IR^2. [/mm] Um Verwechslungen zu vermeiden,
könnte man stattdessen z.B. schreiben Norm((x,y)).
Und wir kommen gleich zur nächsten Verwechslungsgefahr:
es ist schlecht, x und y einerseits als reelle Koordinaten
und zweitens als Variable für Zahlenpaare aus [mm] \IR^2 [/mm] zu
benützen. Vorschlag: Behalte x und y als Koordinaten
und schreibe die nachzuweisenden Eigenschaften neu:
(N1) ||a|| [mm]\ge[/mm] 0 , ||(0,0)|| = 0
(N2) ||ka|| = |k| * ||a||
(N3) ||a+b|| [mm]\le[/mm] ||a|| + ||b||
Dabei steht jetzt a für [mm] (x,y)\in\IR^2 [/mm] und b für [mm] (u,v)\in\IR^2
[/mm]
> Wie muss ich an die Skizze herangehen, ich hab keine Idee
> wie ich das zeichnen soll...
Die Gleichung für den Rand
Norm((x,y))= ||(x,y)||=1 oder |x| + |x-y|=1
lässt sich in 4 einzelne Geradengleichungen auflösen:
[mm] $\pm\ [/mm] x\ [mm] \pm [/mm] (x-y)=1$
Es ist also zu erwarten, dass da ein viereckiger "Einheitskreis"
herauskommen wird ...
LG al-Chw.
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Danke erstmal, also die Zeichnung habe ich jetzt richtig!!!
Aber bei
(N1) ||a|| $ [mm] \ge [/mm] $ 0 , ||(0,0)|| = 0
(N2) ||ka|| = |k| * ||a||
(N3) ||a+b|| $ [mm] \le [/mm] $ ||a|| + ||b||
Dabei steht jetzt a für $ [mm] (x,y)\in\IR^2 [/mm] $ und b für $ [mm] (u,v)\in\IR^2 [/mm] $
komme ich noch ein wenig ins stocken...
(N1) ||a|| = |x| + |x-y| [mm] \ge [/mm] 0. Reicht es zu sagen, dass es eine wahre Aussage ist, weil Beträge positiv definiert sind, also immer [mm] \ge [/mm] 0?
(N2) ||ka|| = ||k* (|x| + |x-y|)|| = |k|*|x| + |k|*|x-y| = |k|*||x + (x-y)||
(N3] ||a+b|| [mm] \le [/mm] ||a|| + ||b|| = ||(x + (x-y)) + (u + (u-v)|| <--- Hier weiss ich nicht mehr weiter... habe ich u und v überhaupt richtig eingesetzt?
Mfg.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo
> Danke erstmal, also die Zeichnung habe ich jetzt
> richtig!!!
Das freut mich für Dich.
> Aber bei
> (N1) ||a|| [mm]\ge[/mm] 0 , ||(0,0)|| = 0
> (N2) ||ka|| = |k| * ||a||
> (N3) ||a+b|| [mm]\le[/mm] ||a|| + ||b||
> Dabei steht jetzt a für [mm](x,y)\in\IR^2[/mm] und b für
> [mm](u,v)\in\IR^2[/mm]
> komme ich noch ein wenig ins stocken...
Schauen wir mal.
> (N1) ||a|| = |x| + |x-y| [mm]\ge[/mm] 0. Reicht es zu sagen, dass es
> eine wahre Aussage ist, weil Beträge positiv definiert
> sind, also immer [mm]\ge[/mm] 0?
Ja, das genügt schon. Also [mm] $|x|\geqslant [/mm] 0$ und [mm] $|x-y|\geqslant [/mm] 0$, folgt, dass auch deren Summe größer gleich 0 ist.
> (N2) ||ka|| = ||k* (|x| + |x-y|)|| = |k|*|x| + |k|*|x-y| =
> |k|*||x + (x-y)||
Achtung, Du nutzt die Normdefinition im [mm] $\IR^2$ [/mm] aus und verwendest sie trotzdem weiterhin. Richtig wäre es
[mm] $||ka||=||(kx,ky)||=|kx|+|kx-ky|=|k|(|x|-|x-y|)=|k|\cdot||a||$
[/mm]
> (N3] ||a+b|| [mm]\le[/mm] ||a|| + ||b|| = ||(x + (x-y)) + (u +
> (u-v)|| <--- Hier weiss ich nicht mehr weiter... habe ich
> u und v überhaupt richtig eingesetzt?
[mm] $||a+b||=||(x+u,y+v)||=|x+u|+|(x+u)-(y+v)|\leqslant|x|+|u|+|x-y|+|u-v|=||a||+||b||$
[/mm]
> Mfg.
Du musst noch zeigen:
[mm] $||a||=0\Longleftrightarrow [/mm] a=0$ (also $a=(x,y)=0$, d.h. $x=y=0$)
[mm] $\Longrightarrow$: [/mm] Falls $||a||=0$ so gilt
$0=||a||=|x|+|x-y|$
Wegen [mm] $|x|\geqslant [/mm] 0$ und [mm] $|x-y|\geqslant [/mm] 0$, wird die rechte Seite genau dann 0, wenn jeder der Summanden 0 ist. Damit muss $x=0$ sein (wegen $|x|=0$) und $y=0$ sein (wegen $|x-y|=0$ und $x=0$).
[mm] $\Longleftarrow$: [/mm] Falls $a=(x,y)=0$ ist, so folgt:
$||a||=|x|+|x-y|=|0|+|0-0|=0$
Damit wäre die fehlende Aussage gezeigt.
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Besten Dank!
Die Aufgabe ist mir nun klar : )
Jetzt haperts nur noch an einer kleinen Verständnisschwierigkeit zur Norm im allgemeinen.
Also ein Vektorraum in der Analysis besteht ja aus Vektoren, die nicht wie in der lineraren Algebra die "typischen Pfeile" sein müssen, sondern auch z.B. Funktionen/Abbildungen sein können. In einem Vektorraum ist es möglich alle Vektoren (z.B. Funktionen) durch Addition/Multiplikation darstellen zu können. Eine Norm ist eine Abbildung auf einem Vektorraum, die nur positive Werte definiert.
Was genau unterscheidet eine Norm von einer Betragsfunktion?
Wozu genau braucht man Normen, wenn sie ziemlich gleich der Beträge sind.
:]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo nochmal,
> Besten Dank!
Bitte bitte.
> Die Aufgabe ist mir nun klar : )
Das freut mich. Dann haben sich meine Mühen gelohnt.
> Jetzt haperts nur noch an einer kleinen
> Verständnisschwierigkeit zur Norm im allgemeinen.
Okay schauen wir mal.
> Also ein Vektorraum in der Analysis besteht ja aus
> Vektoren, die nicht wie in der lineraren Algebra die
> "typischen Pfeile" sein müssen,
Wie bitte? Was für Pfeile? Die Pfeile hat man in der Schule über die Buchstaben geschrieben, die ein Vektor im [mm] $\IR^3$ [/mm] darstellen, um eventuelle Verwechslungen mit skalaren Werten zu vermeiden. Ein Vektorraum in der Analysis ist das selbe wie ein Vektorraum in der Linearen Algebra. Möchtest Du verschiedene spezielle Vektorräume miteinander vergleichen. Du vergleichst nicht etwa einen euklidischen Vektorraum mit irgendeinem anderen Vektorraum? Lies Dir zu Vektorräumen mal besser die folgende Seite durch:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum
> sondern auch z.B.
> Funktionen/Abbildungen sein können.
Das geht auch in der linearen Algebra. Ich erinnere dazu an den Vektorraum der Polynome.
> In einem Vektorraum ist
> es möglich alle Vektoren (z.B. Funktionen) durch
> Addition/Multiplikation darstellen zu können.
Darstellen? Darstellen durch Addition/Multiplikation? Du sprichst hier sicherlich von den Vektorraum-Verknüpfungen oder verstehe ich etwas falsch? Die Elemente (oder Vektoren) eines Vektorraums lassen sich durch Addition untereinander oder mittels Multiplikation mit einem skalaren Wert verbinden. Lies Dir auch dazu die obige Seite durch (oder ein gutes Buch).
> Eine Norm ist
> eine Abbildung auf einem Vektorraum, die nur positive Werte
> definiert.
(...), die jedem Element (oder: Vektor) des Vektorraums eine nichtnegative reelle Zahl zuordnet. Ja genau.
> Was genau unterscheidet eine Norm von einer
> Betragsfunktion?
Die Betragsfunktion (auch euklidische Norm genannt) ist die Standard-Norm für die reellen (oder komplexen) Zahlen. Kurz: Die Betragsfunktion ist eine Norm.
> Wozu genau braucht man Normen, wenn sie ziemlich gleich
> der Beträge sind.
Sie sind nicht gleich der Beträge! Lies Dir erst einmal die Seite durch.
Gruß Denny
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Ahhh, die Wikipedia Erklärung hat mich ein ganzes Stück weiter gebracht. Aber eine letzte Frage bleibt noch offen:
Wir müssen Konstanten a,b > 0 finden für die Normen ||(x,y)|| und [mm] ||(x,y)||_{2}, [/mm] so dass gilt:
a [mm] ||(x,y)||_{2} \le [/mm] ||(x,y)|| [mm] \le [/mm] b [mm] ||(x,y)||_{2}
[/mm]
Hinweis bei der Aufgabe: "Es reicht die beiden Normen für ||(x,y)|| = 1 zu vergleichen (warum?). Dazu die Skizze anschauen!"
Also ich habe mit einem gesprochen der sagte, dass a= [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] ist und b = [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
Aber ich verstehe nicht, wie man auf die [mm] \wurzel{2} [/mm] kommt... oder kommt die [mm] \wurzel{2} [/mm] von der euklidschen Norm wegen [mm] ||(x,y)||_{2}=1? [/mm] Wenn ja, wie kommt man auf diese Zahl?
Und warum ist bei a = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] <-- warum gilt das?
Den geometrischen Zusammenhang kann ich mir auch irgendwie nicht deutlich machen, ich weiss ja, dass alle Normen im [mm] \IR^{n} [/mm] äquivalent sind und man muss die Konstanten irgendwie so wählen, dass die "Einheitskreise" der Normen grade so ineinander reinpassen, oder?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Di 11.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Sorry, kurze Mitteilung:
> > (N1) ||x|| [mm]\ge[/mm] 0 , ||x|| = 0
> letzteres müsste wohl heissen ||0||=0
irgendwie ist das doch beides nicht ganz richtig. Richtig wäre es
[mm] $||a||=0\Longleftrightarrow [/mm] a=(x,y)=0$ (also $x=y=0$)
Gruß
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> Sorry, kurze Mitteilung:
>
> > > (N1) ||x|| [mm]\ge[/mm] 0 , ||x|| = 0
>
> > letzteres müsste wohl heissen ||0||=0
>
> irgendwie ist das doch beides nicht ganz richtig. Richtig
> wäre es
>
> [mm]||a||=0\Longleftrightarrow a=(x,y)=0[/mm] (also [mm]x=y=0[/mm])
>
> Gruß
Die allgemeine Definition des Begriffes "Norm" bezieht
sich auf einen Vektorraum, in welchem es einen Nullvektor
gibt. Diesen habe ich hier einfach mit 0 bezeichnet, wohl
wissend, dass es sich im hier konkret betrachteten Fall
dabei um das Zahlenpaar (0,0) handelt.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo nochmal,
> Die allgemeine Definition des Begriffes "Norm" bezieht
> sich auf einen Vektorraum, in welchem es einen Nullvektor
> gibt. Diesen habe ich hier einfach mit 0 bezeichnet, wohl
> wissend, dass es sich im hier konkret betrachteten Fall
> dabei um das Zahlenpaar (0,0) handelt.
Nein, darum ging es mir nicht. Es ist die genannte Äquivalenzrelation zu zeigen. Du hast geschrieben:
> > > letzteres müsste wohl heissen ||0||=0
Das ist streng genommen nur die eine Richtung meiner Äquivalenzrelation. Es bleibe nach wie vor noch
[mm] $||a||=0\Longrightarrow [/mm] a=0$
zu zeigen. Das steckt in Deiner Formulierung nicht drin.
> LG Al-Chw.
Gruß
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Ach so ...
ich wollte zuerst nur eine kleine Korrektur anbringen und
habe die Definition des Normbegriffs gar nicht nachgeschaut
Du hast natürlich Recht.
LG
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