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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Sei x [mm] \in \IR^{n} [/mm] und A [mm] \in \IR^{nxn} [/mm]
a) Finden sie eine optimale Konstante C, so dass gilt [mm] ||Ax||_{1} \le C*||x||_{1}
[/mm]
b) Finden sie eine optimale Konstante C, so dass gilt [mm] ||Ax||_{\infty} \le C*||x||_{\infty}
[/mm]
c) Zeigen Sie, dass es für alle Normen auf [mm] \IR^{n} [/mm] eine Konstante C gibt, so dass ||Ax|| [mm] \le [/mm] C*||x|| |
Hallo !
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe behilflich sein ? Ich habe absolut keine Ahnung, wie ich die lösen soll.
Danke!
LG Fry
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Hiho,
irgendwie hab ich gerade ein Problem mit der Aufgabe, weil es so ein C gar nicht gibt, was für alle [mm]x \in \IR^n[/mm] und [mm]A \in \IR^{n x n}[/mm] gilt.
Beweis: Angenommen es gäbe so ein [mm] C_0, [/mm] so dass
[mm]||Ax|| \le C_0*||x||[/mm] gilt.
Wähle [mm] A = \pmat{ 2c_0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 2c_0 & 0 & ... \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & ... & 0 & 2c_0} [/mm], dann gilt:
[mm]||Ax|| = ||2c_0*x|| = 2c_0 ||x|| \ge c_0 * ||x||[/mm].
Und wenn man nur für ein bestimmtes x und A das bestimmen soll, macht die Aufgabe auch recht wenig Sinn, weil man dann C halt jedesmal als
[mm]C = \sup_{x\in\IR^n\setminus{0}} \bruch{||Ax||}{||x||}[/mm]
definieren müsste, was aber der ![[]](/images/popup.gif) Matrixnorm entspricht.
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:00 So 04.11.2007 | | Autor: | Fry |
Danke für deine Hilfe :))
LG
Fry
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