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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 So 30.10.2005 | | Autor: | GetBack |
Hallo Leute,
ich hab mal wieder ein Problem mit einer Aufgabe und hoffe ihr könnt mir da helfen. Die Aufgabe lautet:
Sei [mm] M \subset \Omega [/mm] ein abgeschlossener Teilraum von [mm] \Omega [/mm]. Zeigen Sie, dass [mm] \|x\|:=\inf_{m \in M} \|x-m\|_\Omega [/mm] eine Norm auf [mm] \Omega/M [/mm]. [mm] \Omega/M [/mm] ist dabei die Menge der Äquivalenzklassen.
Ich weiß, dass ich Definitheit, Homogenität und die Dreiecksungleichung überprüfen muss. Aber ich komme da einfach nicht weiter.
Danke für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:50 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Du musst hier ausnutzen, dass $M$ abgeschlossen und ein Unterraum ist.
Zur Definitheit: Im Falle $[x] [mm] \ne [/mm] 0$, also: $x [mm] \notin [/mm] M$, gilt: $dist(x,M)>0$, da $M$ abgeschlossen ist, und daher:
[mm] $\Vert [/mm] [x] [mm] \Vert= \inf\limits_{m \in M} \Vert [/mm] x-m [mm] \Vert_{\Omega} [/mm] =dist(x,M)>0$.
Zur Homogenität: Der Fall [mm] $\lambda=0$ [/mm] ist trivial. Im Falle [mm] $\lambda \ne [/mm] 0$ gilt:
[mm] $\Vert \lambda [/mm] [x] [mm] \Vert [/mm] = [mm] \inf\limits_{m \in M} \Vert \lambda [/mm] x-m [mm] \Vert_{\Omega} [/mm] = [mm] \inf\limits_{m \in M} |\lambda| \cdot \Vert [/mm] x - [mm] \frac{1}{\lambda} [/mm] m [mm] \Vert_{\Omega}= [/mm] | [mm] \lambda| \inf\limits_{m' \in M} \Vert \lambda [/mm] x - m' [mm] \Vert_{\Omega} [/mm] = [mm] \lambda \cdot \Vert [/mm] [x] [mm] \Vert$,
[/mm]
denn es gilt für [mm] $\lambda \ne [/mm] 0$:
$m [mm] \in [/mm] M [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] m' := [mm] \frac{1}{\lambda} [/mm] m [mm] \in [/mm] M$,
da $M$ ein Unterraum ist.
Versuche die Dreiecksungleichung jetzt mal bitte selber...
Liebe Grüße
Stefan
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