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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:43 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
| Aufgabe | | 40% aller Ehen in Deutschland sind kinderlos. Mit welcher Wahrscheinlichkeit [mm] P(X{\le}80) [/mm] befinden sich unter 182 auf gut Glück ausgewählten Ehepaaren höchstens 80 kinderlose? |
Guten Morgen,
ich versuch mich grad an diesen Normalverteilungen in der Wahrscheinlichtskeitsberechnung und hab da einige Verständnisschwierigkeiten ...
Um die Aufgabe zu lösen benutze ich die normale Verteilungsfunktion:
[mm] F(b)=\phi(\bruch{b-\mu}{\sigma})
[/mm]
Aus der Aufgabe habe ich folgende Werte:
p=0.4
n=182
[mm] \mu=n*p=72.8
[/mm]
und
[mm] \sigma=\wurzel{n*p*(1-p)}=6.609
[/mm]
Um nun herauszufinden, mit welcher Wahrscheinlichkeit höchstens 80 Ehen kinderlos sind, rechne ich:
[mm] F(X{\le}80)=\phi(\bruch{80-72.8}{6.609})\approx\phi(1.089)\approx0.68\approx68 [/mm] %
Angenommen, ich wollte jetzt aber nicht wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit höchstens 80 kinderlos sind, sondern:
a) Wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass aus 182 Ehen genau 80 kinderlos sind.
und
b) Wie hich die Wahrscheinlichkeit ist, dass aus 182 Ehen mindestens 80 kinderlos sind.
Wie müsste ich das dann rechnen? Ich steh da grad leider etwas auf dem Schlauch.
Vielen Dank für Hilfe 
Grüße
Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Zunächst mal möchte ich dich auf einen "kleinen Fehler" aufmerksam machen; falls du mit diskreten Werten rechnest, wie also hier z.B., musst du eine sogenannte Stetigkeitskorrektur in die Rechnung einfügen.
Bei der unteren Grenze -0,5 und bei der oberen Grenze + 0,5.
Diese resultiert aus der Vorstellung der Normalverteilung als Histogramm; wenn man nun eine Grenze einsetzt, so schneidet man den jeweiligen Streifen in der Mitte durch und würde bei der unteren Grenze den links davon liegenden und den bei der oberen Grenze rechts davon liegenden Wert nicht berücksichtigen.
Für stetige Verteilungen wäre deine Rechnung korrekt; dort muss man nichts weiter berücksichtigen.
Ok sonst zu deinen weiteren Fragen:
Ich denke, dass du einen punktuellen Wert herausbekommst, indem du 80 sowohl als untere als auch als obere Grenze in die Rechnung einsetzt.
Während sich die beiden Werte vorher aufgehoben hättest, kannst du nun durch die Stetigkeitskorrektur mit den Werten Rechnen.
Falls eine stetige Verteilung vorliegt, ist die Wahrscheinlichkeit von genau einem punktuellen Wert = 0.
Falls du mindestens 80 erhalten willst, so nutzt man die Symmetrie der Gaußschen Summenfunktion aus:
P(x [mm] \ge [/mm] 80) = 1 - [mm] \PHI (\bruch{80 + 0,5 - 72,8}{6,609}
[/mm]
Man muss "öfter mal was Umschreiben"; vllt helfen dir
![[]](/images/popup.gif) diese Grundladen weiter; sonst kann ich dir noch herzliche
dieses pdf empfehlen, welches mir sehr beim Verständnis geholfen hat, da auch vor allem durch die Bilder etc. alles nett erklärt wird.
Wenn was unklar ist, frag einfach nochmal :)
Hoffe ich konnte behilflich sein
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Ahoi Maggons,
vielen Dank für die Denkhilfen!
>
> Zunächst mal möchte ich dich auf einen "kleinen Fehler"
> aufmerksam machen; falls du mit diskreten Werten rechnest,
> wie also hier z.B., musst du eine sogenannte
> Stetigkeitskorrektur in die Rechnung einfügen.
>
> Bei der unteren Grenze -0,5 und bei der oberen Grenze +
> 0,5.
> Diese resultiert aus der Vorstellung der Normalverteilung
> als Histogramm; wenn man nun eine Grenze einsetzt, so
> schneidet man den jeweiligen Streifen in der Mitte durch
> und würde bei der unteren Grenze den links davon liegenden
> und den bei der oberen Grenze rechts davon liegenden Wert
> nicht berücksichtigen.
>
> Für stetige Verteilungen wäre deine Rechnung korrekt; dort
> muss man nichts weiter berücksichtigen.
>
Diese Korrektkur kenne ich, das wäre ja dieser Satz von Moire-Laplace. Die Bedingungen dafür sind bei dieser Aufgabe erfüllt ( dass n*p>5 und n*(1-p)>5 ) ...
Habe das aber immer so interpretiert, dass diese Korrektur nur dazu dient, eine "bessere" Näherung zu bekommen, aber man im Grunde auch mit der standard Näherung da rangehen könnte.
Versteh ich das richtig, dass, wenn ich diese Näherung gehen kann, ich diese auch nehmen MUSS?
> Ok sonst zu deinen weiteren Fragen:
>
Ok ich hab das nochmal versucht. Generell dazu, wenn ich Grenzen habe, benutze ich folgende Näherung von Laplace (Welche ich ja wegen dieser Korrektur nehme):
[mm] P(r{\le}x{\le}s)=\phi(\bruch{s-\mu+0.5}{\sigma})-\phi(\bruch{r-\mu-0.5}{\sigma})
[/mm]
Für mindestens 80 hattest du ja geschrieben:
> Falls du mindestens 80 erhalten willst, so nutzt man die
> Symmetrie der Gaußschen Summenfunktion aus:
>
> P(x [mm]\ge[/mm] 80) = 1 - [mm]\PHI (\bruch{80 + 0,5 - 72,8}{6,609})[/mm]
>
Müsste dann bei deiner Formel nicht -0.5 anstatt +0.5 stehen?
Also so?
[mm] P(x{\ge}80)=1-\phi(\bruch{80-72.8-0.5}{6.609})\approx15.62 [/mm] %
> Ich denke, dass du einen punktuellen Wert herausbekommst,
> indem du 80 sowohl als untere als auch als obere Grenze in
> die Rechnung einsetzt.
Wäre das dann so korrekt?
[mm] P(80{\le}x{\le}80)=\phi(\bruch{80-72.8+0.5}{6.609})-\phi(\bruch{80-72.8-0.5}{6.609})\approx\phi(1.165)-\phi(1.013)\approx0.879-0.8438\approx3.52 [/mm] %
Falls ja, was wäre denn im Falle, wenn ich keine Korrektur von [mm] \pm0.5 [/mm] hätte, dann wäre das Ergebnis der Substraktion ja 0. Ist das dann eine zu ungenaue Berechnung oder ist die Wahrscheinlichkeit dann wirklich 0% ?
Danke und viele Grüße
Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Zunächst mal lautet doch die Laplace Bedingung:
[mm] \sigma [/mm] > 3
Je größer Sigma ist, desto besser ist auch deine Näherung.
Bei sehr geringem Sigma, können einfach hohe Verfälschungen auftreten.
Ja, es macht in den meisten Fällen nicht sehr viel aus, falls du diese Stetigkeitskorrektur verlässt; jedenfalls nicht bei einem hohen Stichprobenumfang mit entsprechend hoher Wkt. mit einem genügend großen Intervall; dadurch werden einfach die Abweichungen zur "normalen Binomialverteilung", welche ja exakte Werte liefern würde, minimiert.
Und wie du ja schon selbst bemerkt hast; wenn du einen punktuellen Wert wie P(x=80) errechnen möchtest, kommt ohne die Stetigkeitskorrektur gar kein Ergebnis raus.
Der Rechnung nach liegt nämlich eine stetige Verteilung vor ( -> keine Stetigkeitskorrektur); punktuelle Werte haben in stetigen Verteilungen eine Wahrscheinlichkeit von 0, daher wäre die Rechnung nicht ungenau sondern korrekt.
Hier kann man nur mit der Stetigkeitskorrektur auf ein genährtes Ergebnis kommen.
Oh ja, natürlich hast du bei der Berechnung von mindestens 80 Recht; 80 stellt ja dort die Untere Grenze dar, daher muss - 0,5 gerechnet werden; entschuldige den Tippfehler.
Und auch die Berechnung für P(x=80) ist korrekt.
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Ahoi Maggons,
perfekt, Danke! Jetzt hab ich das System dahinter kapiert.
Allerdings eins noch:
> Zunächst mal lautet doch die Laplace Bedingung:
>
> [mm]\sigma[/mm] > 3
>
In meinem Script steht >5 ... Im Internet habe ich grad auch nochmal gesucht und dort sogar die Bedingung mit >9 gefunden. >3 war auch dabei.
Was stimmt denn nun? :-O
Viele Grüße
Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Sa 29.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Ahoi Maggons,
>
> perfekt, Danke! Jetzt hab ich das System dahinter kapiert.
>
> Allerdings eins noch:
>
> > Zunächst mal lautet doch die Laplace Bedingung:
> >
> > [mm]\sigma[/mm] > 3
> >
>
> In meinem Script steht >5 ... Im Internet habe ich grad
> auch nochmal gesucht und dort sogar die Bedingung mit >9
> gefunden. >3 war auch dabei.
>
> Was stimmt denn nun? :-O
Gar nichts. Es ist und bleibt eine Näherung.
Für praktische Zwecke liegt aber die Näherung mehr oder weniger gut in der Nähe der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit. Über dieses "mehr oder weniger gut" entscheidet halt die Strenge, die man sich selbst für Sigma auferlegt.
Etwas ähnliches findest du bei der Schwingungsgleichung für ein mathematisches Pendel. Sie gilt nie ganz perfekt. In mancher Literatur steht, dass die Gleichung für Auslenkwinkel <5° verwendet werden kann, andere sind großzügiger und lassen sie bis 10° gelten.
Viele Grüße
Abakus
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>
> Viele Grüße
> Andi
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