Normalvert.-Aufgabe < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern [mm] (\mu=30, \sigma^2=9). [/mm] Geben Sie die Grenzen des zentralen Schwankungsintervalls an, in dem 95 % aller Werte liegen. |
meine Gedanken:
X muss irgendwo zwischen E(x)-c & E(x)+c liegen, d.h.: P(30-c [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 30 + c = 0.95
-> standardisiert: P( [mm] \bruch{-c}{3} \le [/mm] Z [mm] \le \bruch{c}{3} [/mm] = 0.95
-> wie weiter? in welcher Tabelle finde ich P( [mm] \bruch{c}{3}) [/mm] ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern
> [mm](\mu=30, \sigma^2=9).[/mm] Geben Sie die Grenzen des zentralen
> Schwankungsintervalls an, in dem 95 % aller Werte liegen.
> meine Gedanken:
>
> X muss irgendwo zwischen E(x)-c & E(x)+c liegen, d.h.:
> P(30-c [mm]\le[/mm] X [mm]\le[/mm] 30 + c = 0.95)
>
> -> standardisiert: [mm]P(\bruch{-c}{3} \le Z\le \bruch{c}{3})= 0.95[/mm]
> -> wie weiter?
Suche in der Tabelle der Standardnormalverteilung [mm] \Phi(z)
[/mm]
zunächst den Z-Wert so, dass [mm] \Phi(Z)-\Phi(-Z)=0.95 [/mm] .
Wegen [mm] \Phi(-Z)=1-\Phi(Z) [/mm] heisst dies [mm] \Phi=0.975 [/mm] .
Dann ist [mm] c=Z*\sigma [/mm] .
LG
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Hallo Al!
soweit klar: [mm] fi(\bruch{c}{3} [/mm] - fi( 1- [mm] \bruch{c}{3} [/mm] ) = 0.95
-> fi [mm] (\bruch{c}{3}) [/mm] = 0.975
-> c= 2.929
-> untere Grenze: 30-c = 30-2.929 = 27.075
-> obere Grenze: 30+c = 30+2.929 = 32.925
-> Lösung lautet aber: 24.12 und 35.88 (untere und obere Grenze)!
was mach ich denn jetzt schon wieder falsch?
danke für die Hilfe!
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hab den Fehler gefunde, ich muss natürlich fi (c/3) auflösen nicht nur (c/3)
danke trotzdem!
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| Aufgabe | "mü"= 125 ; "sigma"=5
-> Wahrscheinlichkeit, dass X=125? |
z = [mm] \bruch{125-125}{5} [/mm] = [mm] \bruch{0}{5} [/mm] = 0 ??
Wo liegt mein Fehler?
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Hallo,
> "mü"= 125 ; "sigma"=5
>
> -> Wahrscheinlichkeit, dass X=125?
> z = [mm]\bruch{125-125}{5}[/mm] = [mm]\bruch{0}{5}[/mm] = 0 ??
>
> Wo liegt mein Fehler?
Bis jetzt noch kein Fehler.
Ich vermute, es ist nach dem Wert der Dichtefunktion gefragt - nicht nach dem der Verteilungsfunktion.
[mm] $\varphi_{(\mu,\sigma)}=\bruch{1}{\sigma*\wurzel{2\pi}}*exp\left(-\bruch{1}{2}*\left(\bruch{x-\mu}{\sigma}\right)^2 \right)$
[/mm]
LG, Martinius
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Ja, gefragt ist die Dichtefunktion. Normalerweise finde ich diese anhand der Standardnormalverteilung-Tabelle, aber wie verwende ich die in diesem Fall?
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Hallo,
> Ja, gefragt ist die Dichtefunktion. Normalerweise finde ich
> diese anhand der Standardnormalverteilung-Tabelle, aber wie
> verwende ich die in diesem Fall?
In der Standardnormalverteilungs-Tabelle finden sich die (numerisch berechneten) Integralwerte der Verteilungsfunktion - nicht der Dichtefunktion.
Für deine Aufgabe musst Du nur deine Werte in die Dichtefunktion einsetzen, die ich dir oben aufgeschrieben habe.
LG, Martinius
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Trotzdem muss irgendwo ein Fehler liegen, die Antwort der Musterlösungen stimmt mit grosser W'keit...
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Hallo,
> Trotzdem muss irgendwo ein Fehler liegen, die Antwort der
> Musterlösungen stimmt mit grosser W'keit...
wenn Du deine Rechnung und Musterlösung hier hineinschreiben würdest ...
Ich habe:
[mm] $\varphi_{(\mu=125;\sigma=5)}(x=125)=\bruch{1}{5*\wurzel{2\pi}}\approx7,98$%
[/mm]
; so ich mich nicht verrechnet habe.
LG, Martinius
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die ML zeigt eben leider nur das Ergebnis... P(X=125)=0 ??
aber gemäss Formel rechnet man doch:
[mm] \bruch{x-"mü"}{"sigma"} [/mm] = [mm] \bruch{125-125}{5} [/mm] = [mm] \bruch{0}{5} [/mm] = 0
fi (0) in Tabelle Standardnormalverteilung nachgeschaut ergäbe 0.5
??
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Hallo,
> die ML zeigt eben leider nur das Ergebnis... P(X=125)=0
> ??
>
> aber gemäss Formel rechnet man doch:
>
> [mm]\bruch{x-\mu}{\sigma}[/mm] = [mm]\bruch{125-125}{5}[/mm] = [mm]\bruch{0}{5}[/mm]
> = 0
>
> fi (0) in Tabelle Standardnormalverteilung nachgeschaut
> ergäbe 0.5
>
> ??
Was Du da berechnet hast (=Ablesen von [mm] \phi(0) [/mm] aus der Tabelle) ist der Flächeninhalt unter der Gaußschen Normalverteilung von [mm] -\infty [/mm] bis zum Höhepunkt der Glockenkurve, also die Verteilungsfunktion. Der halbe Flächeninhalt der Gaußschen Normalverteilung beträgt in der Tat 0,5.
Gefragt ist aber der Funktionswert der standardnormalverteilten Kurve [mm] N_{(\mu=125;\sigma=5)}(X=125) [/mm] bei Z=0 - nicht etwa der Flächeninhalt von irgendeinem [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_2 [/mm] unterhalb der Kurve.
Mache dir noch einmal den Unterschied von Verteilungsfunktion und Dichtefunktion klar!
Wenn dein Sriptum nicht hinreicht, dann leihe doch einmal den
L. Papula, Mathematik für Ingenieure & Naturwissenschaftler
![[]](/images/popup.gif) http://www.amazon.de/gp/search/ref=sdp_tx_au/?search-alias=stripbooks&rank=%2Brelevancerank&field-author=Papula&x=7&y=3
aus der Bibliothek aus. Da steht alles sehr gut erklärt drin.
Von wem stammt denn die Musterlösung?
LG, Martinius
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ML ist vom Prof.
Aber wie rechnest du denn genau die Verteilungsfunktion für X=125 aus, um auf 0 zu kommen?
Entschuldige, wenn ich schon wieder nachfrage!
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Hallo,
> ML ist vom Prof.
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> Aber wie rechnest du denn genau die Verteilungsfunktion für
> X=125 aus, um auf 0 zu kommen?
>
> Entschuldige, wenn ich schon wieder nachfrage!
Im Moment verstehe ich deine Frage nicht ganz.
Dichtefunktion (Wahrscheinlichkeitsdichte) und Verteilungsfunktion findest Du hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung
X=125 ist ja gleich [mm] \mu, [/mm] also der Höhepunkt (Mittelpunkt der achsensymmetrischen Kurve) der Normalverteilung.
Die Verteilungsfunktion wird numerisch berechnet, da das Integral analytisch nicht zu lösen ist.
Ich will ja deinem Prof nicht zu nahe treten. Aber als ich vor vielen Jahren einmal eine Vorlesung in physikalischer Chemie hörte, sagte der Prof am Anfang der Vorlesung, sein Skript wimmele nur so von Fehlern und lobte 5,00 DM für jeden gefundenen Fehler aus.
Für den Fall dass ich irren sollte, wäre es vielleicht besser, wen einer von den Mathematikern hier im Forum sich einmal deiner Frage annähme - ich bin ja nur statistischer Laie.
Dafür müsstest Du aber noch etwas warten.
LG, Martinius
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Gemäss meinem Lehrbuch berechnet sich die Verteilungsfunktion bei der Normalverteilung so wie oben beschrieben:
fi [mm] (\bruch{x - "mü"}{"sigma"}
[/mm]
diese angewendet ergibt folglich die Berechnung, die ich oben gemacht habe...
das Problem ist wohl, das ich mit oben gemachter Berechnung [mm] \le [/mm] 125 berechne und nicht einfach = 125
aber wie unterscheide ich dies bei der Berechnung?
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Hallo,
> Gemäss meinem Lehrbuch berechnet sich die
> Verteilungsfunktion bei der Normalverteilung so wie oben
> beschrieben:
>
> fi [mm](\bruch{x - "mü"}{"sigma"}[/mm]
>
> diese angewendet ergibt folglich die Berechnung, die ich
> oben gemacht habe...
>
> das Problem ist wohl, das ich mit oben gemachter Berechnung
> [mm]\le[/mm] 125 berechne und nicht einfach = 125
>
> aber wie unterscheide ich dies bei der Berechnung?
Einen Zufallsgröße X einer beliebigen Normalverteilung rechnest Du mittels der Transformation
[mm] Z=\bruch{X-\mu}{\sigma}
[/mm]
in den Wert einer Standardnormalverteilung um.
Dann kommt es darauf an, ob ein Intervall [mm] P(A\le [/mm] Z [mm] \le [/mm] B) gefragt ist [mm] (\to [/mm] Verteilungsfunktion, welche aus der Tabelle abgelesen wird),
oder ein exakter Wert P(Z=C) [mm] (\to [/mm] Dichtefunktion).
LG, Martinius
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Gut, und das weitere Vorgehen für die Verteilungsfunktion mit Tabelle ist mir klar.
Aber was passiert, wenn ein genauer Wert gefragt ist, sprich der Vorgang mit der Dichtefunktion?
gemäss meinem Lehrbuch ist die Dichtefunktion:
[mm] \bruch{1}{sigma}*f [/mm] st ( [mm] \bruch{X - erwartungswert (mü)}{sigma}
[/mm]
-> ist f st das gleiche wie bei der Verteilungsfunktion (dort heisst es F st), also man schaut den z-Wert in der Tabelle nach?
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Hallo,
> Gut, und das weitere Vorgehen für die Verteilungsfunktion
> mit Tabelle ist mir klar.
>
> Aber was passiert, wenn ein genauer Wert gefragt ist,
> sprich der Vorgang mit der Dichtefunktion?
>
> gemäss meinem Lehrbuch ist die Dichtefunktion:
>
> [mm]\bruch{1}{sigma}*f[/mm] st ( [mm]\bruch{X - erwartungswert (mü)}{sigma}[/mm]
>
> -> ist f st das gleiche wie bei der Verteilungsfunktion
> (dort heisst es F st), also man schaut den z-Wert in der
> Tabelle nach?
f st ist die standardisierte Dichteverteilung.
F st ist die standardisierte Verteilungsfunktion.
Die Dichtefunktion habe ich dir doch hier schon einmal aufgeschrieben:
https://www.vorhilfe.de/read?i=491047
Hast Du denn schon einmal in den Wikipedia-Link geschaut, den ich dir gegeben hatte. Dann müssten wir nicht ständig aneinander vorbei reden.
LG, Martinius
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> "mü"= 125 ; "sigma"=5
>
> -> Wahrscheinlichkeit, dass X=125?
> z = [mm]\bruch{125-125}{5}[/mm] = [mm]\bruch{0}{5}[/mm] = 0 ??
>
> Wo liegt mein Fehler?
Ich nehme einmal an, dass mit X eine Zufallsvariable
gemeint ist, welche nur ganzzahlige Werte annehmen kann.
Wenn hinter dieser Aufgabe in Tat und Wahrheit eine
Binomialverteilung steckt, dann solltest du diese benützen.
Falls diese Voraussetzung nicht gegeben ist und du dies
mit der Normalverteilung berechnen willst, dann solltest
du als Integrationsgrenzen nicht a=125 und b=125
nehmen (was offensichtlich zum Ergebnis 0 führen muss),
sondern a=124.5 und b=125.5 . Falls die Zufallsvariable X
aber im Prinzip beliebige reelle Werte annehmen kann,
ist jedoch die Lösung P(X=125)=0 durchaus in Ordnung.
Gruß Al-Chw.
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| Aufgabe | Ein Produzent von Kakaopulver weiss aus Erfahrung, dass das Füllgewicht seiner 125g-Packung einer Normalverteilung mit "mü"=125g und einer Standardabweichung von "sigma"=5g unterliegt.
a) wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung genau 125g wiegt? |
Das ist die genaue Fragestellung.
-> das Problem bei meiner Berechnung ist doch, dass ich [mm] \le125 [/mm] berechne und nicht =125, kann das sein?
Wie kann ich nur =125 berechnen? Eigentlich mit der Dichtefunktion anstatt der Verteilungsfunktion oder?
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Hallo,
> Ein Produzent von Kakaopulver weiss aus Erfahrung, dass das
> Füllgewicht seiner 125g-Packung einer Normalverteilung mit
> "mü"=125g und einer Standardabweichung von "sigma"=5g
> unterliegt.
>
> a) wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung
> genau 125g wiegt?
> Das ist die genaue Fragestellung.
>
> -> das Problem bei meiner Berechnung ist doch, dass ich
> [mm]\le125[/mm] berechne und nicht =125, kann das sein?
Ja, das sind zwei unterschiedliche Berechnungen.
> Wie kann ich nur =125 berechnen? Eigentlich mit der
> Dichtefunktion anstatt der Verteilungsfunktion oder?
Ja. Ich hab's dir doch vorgerechnet:
https://www.vorhilfe.de/read?i=491072
LG, Martinius
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aha, alles klar.
langsam bezweifle ich die ML selber, ist es nicht völlig unlogisch, dass die Lösung =0 ist, bei einem Erwartungswert von 125g??
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Hallo,
> aha, alles klar.
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> langsam bezweifle ich die ML selber, ist es nicht völlig
> unlogisch, dass die Lösung =0 ist, bei einem Erwartungswert
> von 125g??
Die Lösung ist 0 nicht, aber ein Zwischenwert, denn Du von X=125g (normalverteilt) durch Transformation auf die Standardnormalverteilung Z=0 erhältst.
Nun ist die Wahrscheinlichkeit gefragt mit welcher exakt der Mittelwert auftritt. Dazu ist die Dichteverteilung von Nöten.
LG, Martinius
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> Ein Produzent von Kakaopulver weiss aus Erfahrung, dass das
> Füllgewicht seiner 125g-Packung einer Normalverteilung mit
> "mü"=125g und einer Standardabweichung von "sigma"=5g
> unterliegt.
>
> a) wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung
> genau 125g wiegt?
> Das ist die genaue Fragestellung.
>
> -> das Problem bei meiner Berechnung ist doch, dass ich
> [mm]\le125[/mm] berechne und nicht =125, kann das sein?
>
> Wie kann ich nur =125 berechnen? Eigentlich mit der
> Dichtefunktion anstatt der Verteilungsfunktion oder?
hallo,
Hast du meine Antworten (hier und im anderen thread)
zur Kenntnis genommen ?
Es kommt drauf an, was mit "genau 125g" gemeint
ist. Wenn man damit meint absolut exakt 125.0000.... g,
dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür gleich Null.
Wenn mit 125g ein Gewicht zwischen 124.5g und 125.5g
gemeint ist, gibt es ein Integral über die Dichte der
Normalverteilung zu berechnen oder mit der [mm] \Phi- [/mm] Tabelle
eine analoge Berechnung durchzuführen:
[mm] $\Phi(0.1)-\Phi(-0.1)\approx [/mm] 0.08$
LG
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| Aufgabe | X sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem Erwartungswert 100 und der Varianz 25 (->sigma=5). Bestimmen Sie:
a) P(X=100)
b) t so, dass gilt: P(X<t)=0.05 |
Ja, danke, ich habe alles gelesen und soweit auch verstanden. Ich möchte Euch sowieso für Euren Einsatz hier danken, ihr seid eine sehr grosse Hilfe und habt mich schon sehr viel weiter gebracht!!
Was ich wiederum nicht verstehe ist die nächste Aufgabe, wo es genau um das Gleiche geht.
a) ist soweit klar, die Lösung ist wiederum 0, d.h. die W'keit, dass X exakt 100.000000 ist, ist =0.
b) Gemäss unseren Unterlagen spielt es bei der stetigen Approximation von stetigen Verteilungen keine Rolle ob < oder [mm] \le [/mm] verlangt wird.
Folglich gehe ich folgendermassen vor:
P(x [mm] \le [/mm] t) = 0.05
-> fi (z [mm] \le \bruch{t - 100}{5} [/mm] )
-> fi [mm] (\bruch{t - 100}{5} [/mm] = 0.05
-->? : meine Tabelle der Standardnormalverteilung gibt nur W'keiten von mindestens 0.5 an, was auch sicher seine theoretischen Hintergrund hat.
-> Dann dachte ich, ich versuche es von Hand, anhand der Dichtefunktion. Diese Gleichung kann mein Taschenrechner aber nicht lösen.
Die Lösung beträgt t = 91.775
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> X sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem
> Erwartungswert 100 und der Varianz 25 (->sigma=5).
> Bestimmen Sie:
>
> a) P(X=100)
>
> b) t so, dass gilt: P(X<t)=0.05
> b) Gemäss unseren Unterlagen spielt es bei der stetigen
> Approximation von stetigen Verteilungen keine Rolle ob <
> oder [mm]\le[/mm] verlangt wird.
>
> Folglich gehe ich folgendermassen vor:
>
> P(x [mm]\le[/mm] t) = 0.05
>
> -> fi (z [mm]\le \bruch{t - 100}{5}[/mm] )
>
> -> fi [mm](\bruch{t - 100}{5}[/mm] = 0.05
>
> -->? : meine Tabelle der Standardnormalverteilung gibt nur
> W'keiten von mindestens 0.5 an, was auch sicher seine
> theoretischen Hintergrund hat.
Es hat vor allem einen Grund: Sparsamkeit.
Wegen [mm] \Phi(-Z)=1-\Phi(Z) [/mm] genügt die "halbe" Tabelle.
Statt 0.05 suchst du also in der Tabelle den Wert 0.95
Das gibt Z=1.645, also ist Z(0.05)=-1.645 und
[mm] t=\mu-1.645*\sigma=100-1.645*5=91.775
[/mm]
LG
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