Normalteiler von GL_{2}(\IR) < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | (a) Ist G:= { [mm] \pmat{ a & c \\ 0 & b } [/mm] | a,b,c [mm] \in \IR, [/mm] ab [mm] \not= [/mm] 0 } ein Normalteiler von [mm] GL_{2}(\IR)?
[/mm]
(b) Ist [mm] GL_{2}(\IR)? [/mm] ein Normalteiler von [mm] GL_{2}(\IC)?
[/mm]
|
Hallo,
ich hab bei der Teilaufgabe (b) ein paar Probleme, weil ich mir unsicher bin, wie ich das zeigen kann.
Aber zuerst mal zu der (a), die ich so gezeigt habe:
G ist Untergruppe von [mm] GL_{2}(\IR) [/mm] (Hab ich mit den 3 Eig. einer Untergruppe gezeigt)
Sei [mm] \pmat{ d & f \\ g & e } \in GL_{2}(\IR) [/mm] und sei [mm] \pmat{ a & c \\ 0 & b } \in [/mm] G
Dann gilt: [mm] \pmat{ d & f \\ g & e } \pmat{ a & c \\ 0 & b } \not= \pmat{ a & c \\ 0 & b } \pmat{ d & f \\ g & e } [/mm] (hab ich durch Nachrechnen gezeigt)
Also ist G kein Normalteiler. Stimmt das so?
Zur (b) hab ich auch versucht die Äquivalenz anzuwenden :Sei S [mm] \subset [/mm] T Untergruppe. Dann: S ist Normalteiler gdw. [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] T: x S = S x gilt.
Muss ich da eine Matrix M [mm] \in GL_{2}(\IC) [/mm] nehmen und diese mit einer Matrix N [mm] \in GL_{2}(\IR) [/mm] multiplizieren?
Ich hab das auch schon versucht, aber da kommen riesige Matrizen heraus, und ich verrechne mit 1000 mal, da ja M komplexe Einträge hat.
Gibt es vielleicht auch eine andere Möglichkeit, wie man zeigen kann, ob [mm] GL_{2}(\IR) [/mm] Normalteiler von [mm] GL_{2}(\IC) [/mm] ist oder nicht?
Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen kann.
Liebe Grüße,
Moe
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:49 So 19.11.2006 | | Autor: | Binie |
Hi Moe
Ich glaube ich habe für beide Fälle einfach ein Gegenbeispiel gefunden, hab das aber nur auf die Schnelle gemacht, also sag wenn du einen Fehler findest:
a) [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 } \not\in [/mm] G
Die erste Matrix ist aus [mm] GL_{2}(\IR), [/mm] die dritte ist das Inverse dazu und die zweite ist aus G
b) [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & i }\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }\pmat{ i & 0 \\ 0 & 1 }\bruch{1}{i} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & \bruch{1}{i} \\ -\bruch{1}{i} & 0 } \not\in GL_{2}(\IR)
[/mm]
Die erste Matrix ist aus [mm] GL_{2}(\IC), [/mm] die dritte ist das Inverse dazu und die zweite ist aus [mm] GL_{2}(\IR)
[/mm]
Also sind beide Aufgaben keine Normalteiler, was meinst du?
Liebe Grüße Binie
|
|
|
| |
|
Ich habe zwar etwas andere Gegenbeispiele konstruiert, aber: Ja, es sind in beiden Fällen keine Normalteiler. 
|
|
|
|
