Normalteiler, Erzeugnis < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 Sa 17.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe, H [mm] \le [/mm] G und N Normalteiler von G
Dann gilt trivialerweise: NH [mm] \subseteq [/mm] < N [mm] \cup [/mm] H> |
Hallo ich geh gerade alte Vorlesungen durch.
Die andere Richtung haben wir bewiesen, diese als Trivialität abgehackt. Leidre wie sie oft seh ich die Offensichtlichkeit nicht.
Ein element dass in NH ist lässt sich darstellen x= n * [mm] h_1 *..h_r [/mm] wobei n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] h_i \in [/mm] H
nun müsste folgen dass x sich auch darstellen lässt als x= [mm] n_1 h_1 [/mm] .. [mm] n_r h_r [/mm] wobei [mm] n_1 [/mm] ,.., [mm] n_r \in \IN [/mm] und [mm] h_1 [/mm] ,.., [mm] h_r \in [/mm] H ist
So haben wir es zumindest im anderen Beweis notiert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 So 18.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Sei G eine Gruppe, H [mm]\le[/mm] G und N Normalteiler von G
> Dann gilt trivialerweise: NH [mm]\subseteq[/mm] < N [mm]\cup[/mm] H>
> Hallo ich geh gerade alte Vorlesungen durch.
> Die andere Richtung haben wir bewiesen, diese als
> Trivialität abgehackt. Leidre wie sie oft seh ich die
> Offensichtlichkeit nicht.
>
> Ein element dass in NH ist lässt sich darstellen x= n *
> [mm]h_1 *..h_r[/mm] wobei n [mm]\in \IN[/mm] und [mm]h_i \in[/mm] H
> nun müsste folgen dass x sich auch darstellen lässt als
> x= [mm]n_1 h_1[/mm] .. [mm]n_r h_r[/mm] wobei [mm]n_1[/mm] ,.., [mm]n_r \in \IN[/mm] und [mm]h_1[/mm]
> ,.., [mm]h_r \in[/mm] H ist
ohne jetzt drüber nachzudenken, ob das mit den Darstellungen wirklich so
ist. Aber rein die Folgerung:
[mm] $$x=n*(h_1*...*h_r) \Rightarrow x=\produkt_{k=1}^r (n_jh_j)$$
[/mm]
ist doch trivial:
Wegen
[mm] $$n*(h_1*...*h_r)=(n*h_1)*...*h_r$$
[/mm]
(Assoziativität) setzt Du einfach [mm] $n_1:=n \in [/mm] N$ und [mm] $n_j:=e_G=e_N \in [/mm] N$
für $j [mm] \ge 2\,.$ [/mm] Dabei ist [mm] $e_G$ [/mm] das neutrale Element von G.
P.S.: I.a. ist [mm] $\IN \not=N\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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