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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Di 21.08.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G.
(i) Zeigen Sie, dass H genau dann ein Normalteiler ist, wenn gH=Hg für alle g [mm] \in [/mm] G
(ii) Beweisen Sie, dass eine Untergruppe von G vom Index 2 stets ein Normalteiler von G ist. |
Hallo Leute,
habe mal eine alte Aufgabe zur Vorbereitung rausgekramt, habe die Lösung dazu, aber möchte es mal alleine versuchen. Erstmal die (i).
Also:
H ist Normalteiler => gH=Hg
[mm] g^{-1}hg=a [/mm] wobei $a,h [mm] \in [/mm] H$ und $g [mm] \in [/mm] G$
[mm] g^{-1}hg=a \gdw [/mm] $hg=ga$ => gH=Hg
gH=Hg => H ist Normalteiler
gh=hg mit g [mm] \in [/mm] G und h [mm] \in [/mm] H
gh=hg [mm] \gdw ghg^{-1}=h \in [/mm] H => H ist Normalteiler
Kommt mir zu simpel vor, stimmt das so? Danke schonmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Di 21.08.2012 | | Autor: | teo |
Wie stehts denn in der Lösung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Di 21.08.2012 | | Autor: | AntonK |
http://www.myimg.de/?img=Untitled3afbe.jpg
Ich weiß nicht, ob dies gleichbedeutend ist, aber nehme es schon an.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Di 21.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G.
>
> (i) Zeigen Sie, dass H genau dann ein Normalteiler ist,
> wenn gH=Hg für alle g [mm]\in[/mm] G
>
> (ii) Beweisen Sie, dass eine Untergruppe von G vom Index 2
> stets ein Normalteiler von G ist.
was ist mit Teil (ii)?
> Hallo Leute,
>
> habe mal eine alte Aufgabe zur Vorbereitung rausgekramt,
> habe die Lösung dazu, aber möchte es mal alleine
> versuchen. Erstmal die (i).
>
> Also:
>
> H ist Normalteiler => gH=Hg
>
> [mm]g^{-1}hg=a[/mm] wobei [mm]a,h \in H[/mm] und [mm]g \in G[/mm]
>
> [mm]g^{-1}hg=a \gdw[/mm] [mm]hg=ga[/mm] => gH=Hg
Mir persönlich folgerst Du hier ein wenig zu schnell. Das [mm] $\gdw$-Zeichen [/mm]
oben ist zwar nicht falsch, aber überlege Dir mal, ob Dir das, was Du
zeigen sollst, auch wirklich klar ist und dass Du Dir auch zu beiden
Teilmengenbeziehungen Gedanken gemacht hast. In dem Link von Dir
stets definitiv klarer!
Im Endeffekt musst Du zeigen, dass hier zwei Teilmengenbeziehungen gelten, und zwar
1.) $$gH [mm] \subseteq [/mm] Hg$$
sowie
2.) $$Hg [mm] \subseteq gH\,.$$
[/mm]
Wenn Du das gemacht hast, dann folgt auch wirklich [mm] $gH=Hg\,.$
[/mm]
Nun zum anderen Beweisteil:
>
> gH=Hg => H ist Normalteiler
> gh=hg mit g [mm]\in[/mm] G und h [mm]\in[/mm] H
Mir fehlt auch so ein bisschen die Klarheit/klare Ausdrucksweise in Deinem
Aufschrieb. Worte oder Ergänzungen können da viel helfen:
Es gelte also [mm] $gh=hg\,$ [/mm] für alle $g [mm] \in [/mm] G$ und alle $h [mm] \in H\,.$ [/mm] Zeigen wollen
wir, dass dann schon [mm] $H\,$ [/mm] ein Normalteiler ist, also dass für alle $g [mm] \in [/mm] G$
und alle $h [mm] \in [/mm] H$ auch [mm] $ghg^{-1} \in [/mm] H$ gilt.
Seien also $g [mm] \in [/mm] G$ und $h [mm] \in H\,.$ [/mm] Wegen
> gh=hg [mm]\gdw ghg^{-1}=h$
und $h \in H$ folgt $ghg^{-1} \in[/mm] H => H ist Normalteiler
>
> Kommt mir zu simpel vor, stimmt das so? Danke schonmal!
Das fängt auch oben schon falsch an: Aus [mm] $gH=Hg\,$ [/mm] folgt nicht
$$gh=hg$$
mit einem $h [mm] \in H\,,$ [/mm] sondern aus [mm] $gH=Hg\,$ [/mm] kannst Du nur folgern
[mm] $$gh=\red{h\,'}g$$
[/mm]
mit [mm] $h,\,\red{h\,'} \in H\,.$ [/mm] Deswegen ist das so eigentlich falsch!
Aber Du kannst das ganze ja schnell beheben:
Aus [mm] $gH=Hg\,$ [/mm] folgt [mm] $gh=h\,'g$ [/mm] und damit wegen [mm] $\red{h\,'} \in [/mm] H$
sodann [mm] $h=g^{-1}h\,'g \in H\,.$ [/mm] Mit einer geringen Modifikation
würdest Du auch $h=g [mm] h\,'' g^{-1}$ [/mm] rausbekommen, was vielleicht besser
zu Eurer Definition des Normalteilers passt.
Und in dem Beweis hätte ich auch bei der anderen Richtung etwas dazugeschrieben:
Es gelte $gH=Hg$ für alle $g [mm] \in G\,.$ [/mm] Dann gilt auch [mm] $gHg^{-1}=H$ [/mm] - denn:
1.) Sei $x [mm] \in gHg^{-1}\,,$ [/mm] dann gibt es [mm] $h_x \in [/mm] H$ mit
[mm] $$\blue{g h_x} g^{-1}=x\,.$$
[/mm]
Wegen [mm] $\blue{g H=Hg}$ [/mm] können wir aber auch mit einem [mm] $h_x\,' \in [/mm] H$ (beachte, dass [mm] $h_x' \not=h_x$ [/mm] gelten könnte) schreiben
[mm] $$x=(h_x\,' g)g^{-1}\,.$$
[/mm]
Daraus folgt mit Verwendung des Assoziativgesetzes
[mm] $x=h_x\,'(g g^{-1})=h_x\,'*e_G=h_x\,' \in H\,.$
[/mm]
Also gilt [mm] $gHg^{-1} \subseteq H\,.$
[/mm]
2.) Sei $x [mm] \in H\,.$ [/mm] Sei $g [mm] \in G\,,$ [/mm] dann gibt es [mm] $g^{-1} \in [/mm] G$ mit [mm] $gg^{-1}=g^{-1}g=e_G\,.$ [/mm] Jetzt würden wir gerne $x [mm] \in gHg^{-1}$
[/mm]
erkennen:
Wegen [mm] $x=x(gg^{-1})=(xg)g^{-1}$ [/mm] und $Hg=gH$ können wir [mm] $xg=gx\,'$
[/mm]
mit einem [mm] $x\,' \in [/mm] H$ schreiben. Aus
$$x=(g [mm] x\,')g^{-1}$$
[/mm]
folgt dann $x [mm] \in gHg^{-1}\,.$ [/mm] Also gilt $H [mm] \subseteq gHg^{-1}\,.$
[/mm]
3.) Aus 1.) und 2.) folgt [mm] $H=gHg^{-1}\,.$ [/mm] (Und wenn man [mm] $g\,$ [/mm] durch [mm] $g^{-1}$
[/mm]
ersetzt, folgt auch [mm] $H=g^{-1}Hg\,.$)
[/mm]
Also:
[mm] $gH=Hg\,$ $\Rightarrow$ $gHg^{-1}=H$ [/mm] zu folgern, ist ein Schritt,
den man gerne schnell mal macht - aber man sollte sich
wenigstens mal ein paar Gedanken dazu gemacht haben, wieso denn
die rechte Mengengleichheit dann eigentlich gilt. Aus [mm] $gHg^{-1}=H$
[/mm]
nun [mm] $gh=hg\,$ [/mm] zu folgern, ginge schon nicht. Denn aus [mm] $gHg^{-1}=H$ [/mm] folgt
nur [mm] $ghg^{-1}=h\,'$ [/mm] mit [mm] $h,\,h\,' \in H\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:19 Mi 22.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Das sehe ich durchaus ein, vielen Dank für die Mühe!
Hier ist die Lösung für den 2. Teil:
Eine Linksnebenklasse von H in G ist immer H. Ist der Index von H in G 2, so muss die andere Linksnebenklasse G \ H sein, denn jedes Element von G ist in genau einer Linksnebenklasse enthalten. Es liegen also die Linksnebenklassen H und G \ H vor.
Analog erkennt man, dass H und G \ H Rechtsnebenklassen sind. Jede Linksnebenklasse ist also eine Rechtsnebenklasse und umgekehrt. Aus Aufgabenteil (i) folgt, dass H ein Normalteiler ist.
Der erste Teil ist mir klar, wenn ich z.B. [mm] \IZ/2\IZ [/mm] habe, dann ist der Index 2. Die eine Nebenklasse ist H selbst sprich [mm] 2\IZ [/mm] und die andere ist [mm] 1+2\IZ [/mm] was ja [mm] \IZ/2\IZ [/mm] entspricht, korrekt?
Aber wieso erkenne ich analog, dass dies auch Rechtsnebenklassen sind?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 24.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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