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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Di 14.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Sei H [mm] \subset [/mm] G eine Untergruppe vom Index 2, d.h. |G / H | = 2.
Z.Z. H ist Normalteiler von G |
Hallo,
ich hab einige Schwierigkeiten, wie ich zeigen kann, dass H Normalteiler ist. Nach der Definiton von Normalteilern ist H Normalteiler gdw. [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] H, [mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] G: [mm] bab^{-1} \in [/mm] H ist.
Ich hab mal zuerst den Satz von Lagrange angewandt:
|G| = |H| * |G / H| = |H| * 2
Hieraus weiß man, dass G eine gerade Anzahl an Elementen hat und |H| genau die Hälfte der Elemente hat.
Aber wie kann ich nun zeigen, dass H Normalteiler ist?
Ich hoffe, es kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich das zeigen kann. Ich bin mir auch nicht sicher, ob man hier überhaupt den Satz von Lagrange anwenden muss.
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Di 14.11.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Moe!
Der Index $[G:H]$ einer Untergruppe $H$ von $G$ gibt dir die Anzahl der Nebenklassen von $H$ in $G$ an. Ist der Index gleich $2$, so heißt dies also, dass es genau zwei Nebenklassen gibt. Dies sind dann genau die Nebenklassen $H$ und $gH$ für irgendein [mm] $g\in G\setminus [/mm] H$.
$H$ ist ferner Normalteiler genau dann, wenn für alle [mm] $g\in [/mm] G$ stets $g H = H g$ gilt. Nimm nun an, dies sei nicht gegeben. Dann wären also $g H$ und $H g$ verschiedene Nebenklassen. Wenn wir nun wissen, dass es nur zwei Nebenklassen gibt, darunter $H$, was folgt dann? Wenn du diesen Gedanken weiterdenkst, solltest du die Lösung schnell finden.
Versuch's mal.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Hanno,
danke für deine Hilfe. Ich hab die Aufgabe versucht, weiter zu machen, komm aber an einer Stelle nicht weiter:
Annahme: Es gelte gH [mm] \not= [/mm] Hg [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G
Dann sind gH und Hg versch. Nebenklassen. Da H unter diesen Nebenklassen ist, muss doch gelten H = Hg oder?
Also für ein h [mm] \in [/mm] H: h = hg [mm] \in [/mm] H, das ist doch gleich e*h = h*g [mm] \in [/mm] G/H.
Daraus folgt doch hg = gh für ein h [mm] \in [/mm] H. Widerspruch zur Annahme oder?
Aus diesem Widerspruch folgt, dass die Annahme falsch war und deshalb H Normalteiler von G ist.
Ich weiß nicht, ob das so stimmt. Ich hoffe, du hilfst mir weiter.
Vielen Dank und viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Do 16.11.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Moe.
> Annahme: Es gelte gH $ [mm] \not= [/mm] $ Hg $ [mm] \forall [/mm] $ g $ [mm] \in [/mm] $ G
Nicht ganz. Wenn $H$ kein Normalteiler ist, heißt das, dass ein [mm] $g\in [/mm] G$ mit $g H [mm] \neq [/mm] H g$ existiert. Du musst die Existenz eines solchen $g$ zum Widerspruch führen.
> Dann sind gH und Hg versch. Nebenklassen. Da H unter diesen Nebenklassen ist, muss doch gelten H = Hg oder?
Jein. Wenn $gH$ und $Hg$ verschieden sind und es nur zwei Nebenklassen gibt, so muss entweder $gH = H$ oder $Hg = H$ gelten.
> Also für ein h $ [mm] \in [/mm] $ H: h = hg $ [mm] \in [/mm] H$
Nein, das stimmt nicht. Nehmen wir mal an, es sei $H = Hg$ wie du schriebst. Das heißt, dass sich jeder [mm] $h\in [/mm] H$ schreiben lässt in der Form [mm] $h^{\prime} [/mm] g$ für ein [mm] $h^{\prime}\in [/mm] H$ und umgekehrt auch für jedes [mm] $h\in [/mm] H$ ein [mm] $h^{\prime}\in [/mm] H$ mit $hg = [mm] h^{\prime}$ [/mm] existiert. Setzt du nun speziell einmal $h=e$, so folgt, dass [mm] $g\in [/mm] H$ sein muss. Was folgt nun daraus? Wenn [mm] $g\in [/mm] H$, was sind dann $gH$ und $Hg$?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Do 16.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Hanno,
ich glaub ich hab nun die Lösung:
Nehmen wir mal an, es sei [mm]H = Hg[/mm]
> wie du schriebst. Das heißt, dass sich jeder [mm]h\in H[/mm]
> schreiben lässt in der Form [mm]h^{\prime} g[/mm] für ein
> [mm]h^{\prime}\in H[/mm] und umgekehrt auch für jedes [mm]h\in H[/mm] ein
> [mm]h^{\prime}\in H[/mm] mit [mm]hg = h^{\prime}[/mm] existiert. Setzt du nun
> speziell einmal [mm]h=e[/mm], so folgt, dass [mm]g\in H[/mm] sein muss. Was
> folgt nun daraus? Wenn [mm]g\in H[/mm], was sind dann [mm]gH[/mm] und [mm]Hg[/mm]?
Wenn g [mm] \in [/mm] H ist, dann ist gH = {gh | h [mm] \in [/mm] H} = H = Hg
Also ein Widerspruch zur Annahme gH [mm] \not= [/mm] Hg oder?
Danke für deine Hilfe.
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Moe!
> Wenn g $ [mm] \in [/mm] $ H ist, dann ist $gH = [mm] \{gh | h \in H} [/mm] = H = Hg$
> Also ein Widerspruch zur Annahme $gH [mm] \neq [/mm] Hg$ oder?
Genau, das ist absolut richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Danke für deine Hilfe.
Kein Problem.
Liebe Grüße,
Hanno
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