Normalform orthogonaler Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben Sie mit Beweis die Normalform folgender Matrix [mm] A\in [/mm] O(4)an:
[mm] A=\pmat{0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\0&-1&0&0}
[/mm]
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Hallo,
ich weiß leider nicht so genau, wie ich an die Aufgabe richtig heran gehen soll. Liegt wahrscheinlich daran, dass ich nicht so genau weiß, was mit der Normalform gemeint ist. Das charakteristische Polynom und die Eigenwerte hab ich schon mal bestimmt - [mm] P(x)=(x^2+1)^2 [/mm] Eigenwerte sind dann i und -i jeweils mit algebraischer Vielfachheit 2. Wie ich jetzt weiter zu der gesuchten Matrix komme, weiß ich leider nicht. Vielleicht gibt es ja auch noch einen anderen Weg. Es handelt sich ja auch um eine Drehmatrix, da die Matrix orthogonal ist und die Determinante 1.
Vielen Dank schon mal für die Hilfe.
Viele Grüße
Noki-2003
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Di 30.09.2008 | | Autor: | EasyLee |
Hallo!
Sorry erst ma.
du musst jetzt zu den eigenwerten die eigenvektoren bestimmen. Dann sind wenn du alle erhaltenen Eigenvektoren als Spalten in eine Matrix packst diese Matrix gesuchte Form.
gruß
EasyLee
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Hi!
Vielen Dank für die Antwort.
Hab jetzt mal die Eigenvektoren ausgerechnet -
[mm] Eig(A,i)=<\vektor{0\\-i\\0\\1}&\vektor{-i\\0\\1\\0}>
[/mm]
Entsprechend konjugiert für -i.
Wenn ich die vier Vektoren jetzt als meine Spalten der Matrix nehme, komme ich aber leider nicht auf die Lösung die raus kommen sollte. Die Matrix die rauskommen sollte, ist
[mm] A=\pmat{0&-1&0&0 \\ 1&0&0&0 \\ 0&0&0&-1 \\ 0&0&1&0}
[/mm]
Weiß nur leider nicht wie man dort hin kommt :-(
Viele Grüße
Noki-2003
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Di 30.09.2008 | | Autor: | EasyLee |
mist, ich bin zu doof. du musst vier eigenwerte erhalten haben (i,-i,i,-i) dann hast du auch vier Eigenvektoren. Als spalten der neuen matrix ist das [mm] \pmat{ -i & 0 & 0 & i \\ 0 & -i & i & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0}.
[/mm]
Das ist die Matrix mit der du diagonalisieren kannst. Zum beweis must du dann nur Def nachrechnen mit deinen Matrizen.
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Sorry, bin gerade völlig verwirrt...klingt so einfach, aber ich weiß leider immer noch nicht wie ich von meiner Matrix mit den i zu der Lösungsmatrix komme:-(
Wie meinst du das mit dem diagonalisieren?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Di 30.09.2008 | | Autor: | vivo |
aber prüf mal die eigenvektoren ... ich glaube die stimmen nicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Di 30.09.2008 | | Autor: | Noki-2003 |
Hab die Eigenvektoren überprüft...müssten m.E. stimmen...
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Hallo,
vorausgesetzt, Deine Eigenvektoren stimmen, dann ergibt
$ [mm] \pmat{ -i & 0 & 0 & i \\ 0 & -i & i & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0}^{-1}A \pmat{ -i & 0 & 0 & i \\ 0 & -i & i & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0}. [/mm] $
eine Diagonalmatrix, welche die gesuchte Normalform ist.
Du hast zunächst die Eigenvektoren bestimmt und festgestellt: es gibt eine Basis, die aus Eigenvektoren besteht.
Bzgl. dieser Basis hat die darstellende Matrix der durch A repräsentierten Abbildung Diagonalgestalt.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Di 30.09.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
also deine Matrix A, die gesuchte nennen wir mal A' dann:
A' = [mm] C^{-1} [/mm] A C
wobei C die Matrix ist, welche als Spalten die Eigenvektoren zu den Eigenwerten von A hat. Die Matrix A' die dabei rauskommt ist diagonal und hat als einträge auf der diagonale die Eigenwerte stehen.
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