Normalenvektor aus Parameterfo < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Mi 08.11.2006 | | Autor: | JR87 |
| Aufgabe | | [mm] \varepsilon: \overrightarrow{x}= \vektor{3 \\ 2 \\ 4} [/mm] + [mm] t\vektor{-4 \\ -3 \\ 2} [/mm] + s [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 2} [/mm] |
Ja hallo erstmal,
also ich habe diese Parameterform aus einer Ebene und brauch daraus einen Normalenvektor. Eigentlich könnte ich das ja in eine Koordinaten oder Normalenform umwandeln, doch das will ich nicht. Irgendwie muss es auch möglich sein aus einer Parameterform den Normalenvektor zu erstellen. Aber wie?
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naja, das kommt auf deine Kenntnisse an. Das Vektorprodukt liefert stets einen Vektor, der senkrecht auf den beiden vektormultiplizierten Vektoren steht.
Wenn du das allerdings nicht kennst, und deine beiden Vektoren auch nicht so liegen, daß du den Normalenvektor "sehen" kannst, bleibt dir wohl nicht viel anderes übrig, als den von dir vorgeschlagenen, länglichen weg zu gehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 Mi 08.11.2006 | | Autor: | JR87 |
Naja sagen wir so. Uns wurde erklärt das man aus beiden Richtungsvektoren den orthogonalen Vektor bilden muss. Soweit bin ich noch mitgekommen. Dann weiß ich nicht mehr weiter
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Hallo JR87!
Weitere Möglichkeit, neben der, die Event_Horizon, schonerwähnte wäre folgende:
Sei der Normalenvektor gleich [mm] \overrightarrow{n}=\vektor{x \\ y \\ z}.
[/mm]
Da dieser zu beiden Richtungsvektoren der Parameterform senkrecht verläuft muss deren Skalarprodukt jeweils Null ergeben. Es muss also folglich gelten:
[mm] \vektor{x \\ y \\ z}\circ\vektor{-4 \\ -3 \\ 2}=0 [/mm]
[mm] \vektor{x \\ y \\ z}\circ\vektor{-1 \\ 2 \\ 2}=0
[/mm]
Multipliziert man dies formal aus, so erhält man ein zweistufiges Gleichungssystem. Da dieses Gleichungssystem 2 Gleichungen, jedoch 3 Unbekannte (x, y, z) enthält, ist es unterbestimmt. Um es lösen zu können musst du also die beiden Gleichungen so miteinandern verrechnen, daß eine Variable eleminiert wird und dir eine andere Variable vorgeben. Damit könntest du dann die restlichen Koordinaten des Normalenvektors ermitteln.
Du siehst: Das Ganze ist relativ arbeitsaufwändig.
Da die Umwandlung in die Koordinatenform gleich viel Aufwand bedeutet und du die Koordinatenform für weitere Zwecke benutzen kannst (z.B. Punktprobe) empfehle ich dir, die Parameterform lieber in die Koordinatenform umzuwandeln und dort dann den Normalenvektor abzulesen.
Gruß,
Tommy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Mi 08.11.2006 | | Autor: | JR87 |
Gut das hab ich jetzt auch so gemacht. Bei der nächsten Ebenengleichung in Parameterform war aber dann ein Problem aufgetreten
[mm] \varepsilon: \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 2 \\ 0} +s\vektor{-2 \\ 6 \\ 0} +t\vektor{-3 \\ 5 \\ 0}. [/mm] Das kann ich ja jetzt nicht zu einer Koordinatenform umformen, da z ja 0 ist. Wie mach ich das hier, bzw. wie bekomme ich da den Normalenvektor raus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Do 09.11.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo JR87,
> Gut das hab ich jetzt auch so gemacht. Bei der nächsten
> Ebenengleichung in Parameterform war aber dann ein Problem
> aufgetreten
>
> [mm]\varepsilon: \overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\vektor{5 \\ 2 \\ 0} +s\vektor{-2 \\ 6 \\ 0} +t\vektor{-3 \\ 5 \\ 0}.[/mm]
> Das kann ich ja jetzt nicht zu einer Koordinatenform
> umformen, da z ja 0 ist.
Damit hast du doch die Koordinatenform, nämlich
$ z = 0 $ oder $ 0 [mm] \cdot [/mm] x + 0 [mm] \cdot [/mm] y + z = 0 $
Ein Normalenvektor ist also
$ [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] $
Gruß
Sigrid
> Wie mach ich das hier, bzw. wie
> bekomme ich da den Normalenvektor raus?
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Das ist auch der Fall, den ich meinte mit 'einfach sehen'. Du siehst, daß die beiden Richtungsvektoren in der xy-Ebene liegen. Damit steht ein Vektor, der parallel zur Z-Achse ist, sicher senkrecht!
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