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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 So 26.03.2006 | | Autor: | Magnia |
| Aufgabe | Stellen Sie eine Normalengleichung der beschriebenen Ebene E auf.
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E ist die x-y- Ebene
E ist die x-z-Ebene
E enthällt die z Achse, den Punkt P(1/1/0) und steht senkrecht auf der x-y- Ebene
Also irgend wie verstehe ich das mal voll garnicht ! Was soll ich da machen !? Ich weiss noch nicht ma wo ich anfangen soll...
E hat die Koordinatengleichung E: 2x+y-3z=5
da is ja die Normalengleichung E:x [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -3}
[/mm]
und hier :
E geht durch A(0/2/0) B(2/1/2) c (1/0/2)
bekomme ich E:x [mm] \vektor{-2 \\ 2 \\ -6}
[/mm]
doch irgend wie stimmt da was nicht
ich hoffe ihr könnt mir helfen auch wie ich da am besten vorgehe
danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 So 26.03.2006 | | Autor: | goeba |
Hallo,
Deine "Normalenformen" sind teilweise etwas unvollständig.
Die allgemeine Form ist doch
E: [mm] ( \vec{x} - \vec{p} ) \cdot \vec{n} = 0 [/mm].
Dabei ist [mm] \vec{x} [/mm] der allgemeine Punkt der Ebene, [mm]\vec{p}[/mm] ein fester Punkt auf der Ebene (bzw. der Ortsvektor davon) und [mm]\vec{n}[/mm] ein Normalenvektor.
Du musst also in all den Fällen einerseits einen Punkt auf der Ebene finden, andererseits einen Vektor, der senkrecht dazu steht.
Also z.B. im ersten Fall (xy-Ebene, wenn ich mich recht erinnere):
- fällt Dir ein Punkt ein, der auf der xy-Ebene liegt?
- fällt Dir ein Vektor ein, der zur xy-Ebene senkrecht steht?
Dann hast Du die Normalenform. Wenn Du die Koordinatenform willst, musst Du das ganze noch ausmulltiplizieren. Deine Formen waren unvollständig, weil das Gleichheitszeichen fehlte, das muss immer irgendwo sein.
Wenn Du umgekehrt die Koordinatenform ahst, dann kannst Du den Normalenvektor direkt ablesen (wie Du es ja auch getan hast), aber es fehlt Dir noch der PUnkt auf der Ebene. Den bekommst Du leicht, wenn Du z.B. für x und y beliebige Zahlen einsetzt und z dann entsprechend ausrechtenst.
Wenn Du Dir das alles nicht vorstellen kannst, kann ich Dir ein Programm empfehlen, mit dem Du das alles in 3D mal anschauen kannst.
Viele Grüße,
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Magnia |
hei
ich muss nochmal nachfragen also :
E hat die Koordinatengleichung E: 2x+y-3z=5
hier kann ich ja ablesen :
E:x [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -3} [/mm] = 5
das ist ja irgend wie die vereinfachte Form
daraus kann man ja mit einem bel punkt :
[mm] E:[x-\vektor{2,5 \\ 0 \\ 0}]\vektor{2 \\ 1 \\ -3}=0
[/mm]
diese hier machen.
stimmt das so ?
dann zu den Punken
Also ich habe die Punkte
A(0/2/0)
B(2/1/2)
C(1/0/2)
E: x [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 0}+r\vektor{2 \\- 1 \\ 2}+s\vektor{1 \\ -2 \\ 2}
[/mm]
Stützvektor ist ja : [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
und Normalenvektor n= [mm] \vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
Man kann doch aber einen Normalenvektor von E auch als Vektorprodukt der Richtungsvektoren darstellen
da erhallte ich dann [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ -3}
[/mm]
ist das ding dann
[mm] E:[x-\vektor{0 \\ 2 \\ 0}]\vektor{2 \\ -2 \\ -3}=0
[/mm]
???
E ist die x-y Ebene
das heißt ja theoretisch z=0
übertragen auf eine Koordinatengleichung
ax+by=c
wäre das dann
[mm] E:[x-\vektor{c/a \\ 0 \\ 0}]\vektor{a \\ b }=0
[/mm]
das selbe übertragen auf x-z achse ???????
nur zum letzten habe ich keine idee
vielleicht kannst du mir da weiterhelfen
E enthällt die z Achse, den Punkt P(1/1/0) und steht senkrecht auf der x-y- Ebene
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Mo 27.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Wenn E die x-y Ebene ist, ist die Lösung ganz einfach:
da die z -Achse sekrecht auf dieser Ebene steht, brauchst du keinen Normalenvektr zu berechnen, sondern hast diesen sofort:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
nun wählst du noch einen Punkt der ebene, z.B. [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
und hast die Normalenform.
[x- [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}] [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = 0
zu der noch gefragten Aufgabe:
E enthällt die z Achse, den Punkt P(1/1/0) und steht senkrecht auf der x-y- Ebene
Ein Punkt ist P (1/1/0) --> dieser ist in der x-y Ebene enthalten.
Da E senkrecht auf der x-y-Ebene steht, ist [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] ein Richtungsvektor deiner Ebene. Ebenso ist auch [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] in deiner Ebene. Ein weiterer Richtungsvektor ist also [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Damit hast du die Normalenform
[x- [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}]* \vektor{-1 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Magnia |
wie kommst du auf $ [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}]\cdot{} \vektor{-1 \\ 1 \\ -1} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Mo 27.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Da der Urspung ja auf der z-Geraden liegt, ist auch er in deiner Ebene enthalten. Da auch der Punt (1/1/0) enthalten ist, insgesamt auch die Strecke von 0 nach P. Diese entspricht dem Vektor [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}.
[/mm]
Den zweiten Vektor - Normalenvektor habe ich als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren bestimmt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Magnia |
wenn ich das Kreuzprodukt der Richtungsverktoren
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] erhallte ich aber [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\0}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Mo 27.03.2006 | | Autor: | cycilia |
sorry, flüchtigkeitsfehler meinerseits! Deine Rechnung war richtig
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