Normalengleichung an Ebenen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 So 11.02.2007 | | Autor: | franzi |
| Aufgabe | Ermittle eine Normalengelichung der Ebene E durch den punkt A(-4/1/3), die
a) parallel zur x-y-Ebene ist
b) senkrecht zur y-Achse ist
c) parallel zur Ebene mit 2x-y-z=8 ist. |
Wir haben das Thema als Wiederholung .. nur leider kann ich mich nicht mehr ganz entsinnen wie man an so eine Aufagabe herangeht und sie löst. Wäre echt nett, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte .. Vielen Dank schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 So 11.02.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
die normalengleichung der ebene lautet
[mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{p}) \vec{n} [/mm] =0
du hast einen punkt A -> [mm] \vec{p}
[/mm]
und der normalenvektor ist der vektor, der zu beiden richtungsvektoren senkrecht steht.
die richtungsvektoren kennst du
xy-Ebene: (1 / 0 / 0) und (0 / 1 / 0)
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{n1 \\ n2 \\ n3}
[/mm]
da der normalenvektor senkrecht (orthogonal) zu den richtungsvektoren stehen muss, gilt:
[mm] \vec{n}* \vektor{1 \\ 0 \\ 0}=0
[/mm]
[mm] \vec{n}* \vektor{0 \\ 1 \\ 0}=0
[/mm]
du erhältst zwei gleichungen mit drei unbekannten. einen wunsch hast du frei und danach erhältst du (d)einen normalenvektor; fertig.
[mm] \vektor{n1\\n2 \\n3}* \vektor{1 \\ 0 \\ 0}=0
[/mm]
1*n1 +0*n2 + 0*n3 =0
[mm] \vektor{n1\\n2\\n3}* \vektor{0 \\ 1 \\ 0}=0
[/mm]
0*n1 + 1*n2 + 0*n3 =0
n1 =0
n2 =0
=> n3 ist beliebig; ich wähle z.b. n3=1
[mm] \vec{n}= \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
( [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3} [/mm] - [mm] \vektor{-4 \\ 1 \\ 3} [/mm] ) * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = 0
kommst du jetzt weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 So 11.02.2007 | | Autor: | franzi |
deine erklärung bis jetzt ist soweit klar .. nur wie berechne ich am ende jetzt x1, x2 und x3 ? und wie beginne ich bei aufgabe b) und c) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 So 11.02.2007 | | Autor: | hase-hh |
[mm] (\vektor{x1 \\ x2 \\ x3} [/mm] - [mm] \vektor{-4 \\ 1 \\3}) [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\1} [/mm] =0
[mm] \vektor{(x1-(-4))*0 \\ (x2-1)*0 \\ (x3-3)*1} [/mm] =0
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ x3 -3} [/mm] =0
E: x3 -3 =0 (Koordinatenform)
zu b) wenn die Ebene zur y-achse senkrecht steht, welche richtungsvektoren hat sie denn dann? tipp: es handelt sich um die xz-Ebene! nun, kannst du die aufgabe bestimmt lösen.
hier sind eigene lösungsversuche trumpf!
zu c) bei einer ebene in koordinatenform kann man den normalenvektor direkt ablesen; hier ist der normalenvektor (bzw. ein Normalenvektor)
[mm] \vektor{2 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
nun kannst du wie in teil a) weitermachen.
gruß
wolfgang
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