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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Di 26.09.2006 | | Autor: | suppe124 |
| Aufgabe | Stellen sie eine Normalengleichung der beschriebenen Ebene E auf.
a) E geht durch A(0/2/0), B(2/1/2). C(1/0/2)
b) E ist die x-y Ebene
c) E ist die x-z Ebene
d) E enthält die z- Achse, den Punkt P(1/1/0) und steht senkrecht auf der x-y Ebene |
Hallo,
also bei a) habe ich noch eine Vermutung, wie ich da vor gehen muss. Muss ich aus den drei punkten erst mal eine Paramtergleichung aufstellen und dann in die normalform bringen. Oder kann ich aus den Punkten direkt eine Normalengleichung bilden?
bei b-d habe ich gar keine vorstellungen, da ich auch räumlich sehr schlecht denken kann.
Wäre super wenn ihr mir helfen könntet
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Di 26.09.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo,
> Stellen sie eine Normalengleichung der beschriebenen Ebene
> E auf.
> a) E geht durch A(0/2/0), B(2/1/2). C(1/0/2)
> b) E ist die x-y Ebene
> c) E ist die x-z Ebene
> d) E enthält die z- Achse, den Punkt P(1/1/0) und steht
> senkrecht auf der x-y Ebene
> Hallo,
> also bei a) habe ich noch eine Vermutung, wie ich da vor
> gehen muss. Muss ich aus den drei punkten erst mal eine
> Paramtergleichung aufstellen und dann in die normalform
> bringen. Oder kann ich aus den Punkten direkt eine
> Normalengleichung bilden?
>
Das kannst du. Du kannst ja jede Koordinatengleichung einer Ebene in der Form
$ a x + b y + c z = 1 $
bringen.
Durch Einsetzen der Punkte kannst du a, b und c bestimmen, und damit hast du einen Normalenvektor.
> bei b-d habe ich gar keine vorstellungen, da ich auch
> räumlich sehr schlecht denken kann.
b) E ist die x-y Ebene
Du kannst dir vielleicht vorstellen, dass für alle Punkte der x-y-Ebene gelten muss: $ z = 0 $.
Und schon ist deine Gleichung fertig.
c) kannst du jetzt sicher selbst.
d) E enthält die z- Achse, den Punkt P(1/1/0) und steht
senkrecht auf der x-y Ebene
Ein Richtungsvektor der z-Achse muss also Richtugsvektor der Ebene sein. Findest du einen? Der Ursprung O liegt auf der z-Achse und damit in der Ebene. Jetzt kannst du mit Hilfe der Punkte O und P einen weiteren RV bestimmen.
Alternativ: Suche dir 2 Punkte auf der z-Achse. Dann kannst du mit Hilfe der 3-Punkte-Form eine Gleichung der Ebene bestimmen.
Gruß
Sigrid
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> Wäre super wenn ihr mir helfen könntet
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Di 26.09.2006 | | Autor: | suppe124 |
Hallo,
danke für deine Hilfe.
Wenn ich bei a)
Die Punkte einsetze. Wie komme ich dann zu der Normalform E: (x-a) * n=0?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Di 26.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Franziska
Wenn du eine Ebene in der Form
E: [mm] \vec{x}=\vec{a}+\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC} [/mm] hast, kannst du einen möglichen Normalenvektor mit Hilfe des Kreuzproduktes aus [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] berechnen..
Dann hast du den Vektor [mm] \vec{n}.
[/mm]
Das d aus deiner Normalenform [mm] \vec{n}*\vec{x}=d [/mm] kannst du mit dem Skalarprodukt aus [mm] \vec{n} [/mm] und [mm] \vec{a} [/mm] berechnen.
Ach ja:die Definition des Kreuzproduktes:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Di 26.09.2006 | | Autor: | suppe124 |
Um ehrlich zu sein habe ich das nicht verstanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Di 26.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal.
Du willst ja die Normalengleichung der Ebene aufstellen, die durch die drei Punkte A(0/2/0), B(2/1/2) C(1/0/2) verlaufen soll.
Die Ebene mit drei gegebenen Punkten stellt man am besten erstmal in der Parameterform auf, weil das die einfachste Form für diesen Fall ist.
Hier hast du
E: [mm] \vec{x}=\vec{a}+\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}
[/mm]
mit deinen Werten
[mm] \vec{x}=\vektor{0\\2\\0}+\lambda\vektor{2\\-1\\2}+\mu\vektor{1\\-2\\2}
[/mm]
Jetzt brauchst du für deine Ebene in Normalenform einen Normalenvektor [mm] \vec{n}. [/mm] Und genau den berechnest du mit dem Kreuzprodukt.
es gilt jetzt: [mm] \vec{n}=\vektor{2\\-1\\2}x\vektor{1\\-2\\2}=\vektor{2\\-2\\-3}
[/mm]
Jetzt weisst du, dass deine Ebene in Normalenform folgende Darstellung hat:
E: [mm] \vektor{2\\-2\\-3}*\vec{x}=d, [/mm] wovon ichdas d noch berechnen muss.
Dieses berechne ich mit [mm] \vec{n}*\vec{a}=\vektor{2\\-2\\-3}*\vektor{0\\2\\0} [/mm] = -4
Also ist die Ebene in Normalenform:
[mm] \vektor{2\\-2\\-3}*\vec{x}=-4
[/mm]
Oder in Koordinatenform: 2x-2y-3z=-4
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Mi 27.09.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo,
> Hallo,
> danke für deine Hilfe.
> Wenn ich bei a)
> Die Punkte einsetze. Wie komme ich dann zu der Normalform
> E: (x-a) * n=0?
Wenn ich richtig gerechnet habe, bekommst du als Gleichung:
$ -0,5 x + 0,5 y + 0,25 z = 1 $
Also ist $ [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{-0,5 \\ 0,5 \\ 0,25} [/mm] $
also
$ E: [mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 0}) \cdot \vektor{-0,5 \\ 0,5 \\ 0,25} [/mm] $
Marius hat natürlich recht, das übliche Verfahren ist das mit Hilfe der Parameterform. Dieses Verfahren hattest du ja auch schon gesehen. Dies ist halt eine mögliche Alternative.
Einen Punkt hatte ich allerdings bei meiner ersten Antwort vergessen.
Den Ansatz, eine Gleichung der Form $ a x + b y + c z = 1 $ darfst du natürlich nur nehmen, wenn sicher ist, dass die Ebene den Ursprung nicht enthält. Bei deinen Punkten ist diese Bedingung erfüllt. Wenn du da nicht sicher bist, kannst du den Ansatz
$ E : a x + b y + c+ z = d $ nehmen. Eine Variable (außer d) ist dabei frei wählbar.
Gruß
Sigrid
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